Bac Maths 2026 — Métropole septembre — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement de septembre, Métropole et La Réunion (sujet 1, jour 1), 8 septembre 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Ce sujet n'a pas de corrigé officiel : la correction ci-dessous a été entièrement rédigée pour ce site, et chaque résultat vérifié par le calcul.

Exercice 1 — Délais de livraison (5 points)

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près. Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément.

Partie A

On s'intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération. Une étude a permis d'établir que :

• lorsque le livreur est expérimenté, le délai de livraison est respecté pour $95$ % des colis ;
• lorsque le livreur est débutant, le délai de livraison est respecté pour $75$ % des colis.

Dans une entreprise qui emploie ses propres livreurs, parmi lesquels $60$ % sont expérimentés et les autres débutants, on s'intéresse à une livraison choisie au hasard. On note :

• $E$ l'évènement « la livraison est effectuée par un livreur expérimenté » ;
• $R$ l'évènement « le délai de livraison est respecté ».

1. Calculer $P(E \cap R)$. On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilité.

2. Justifier que $P(R) = 0{,}87$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. Sachant qu'un colis a été livré en respectant les délais, quelle est la probabilité qu'il ait été livré par un livreur expérimenté ?

Partie B

Pour améliorer son service de livraison, l'entreprise analyse un échantillon de $200$ livraisons prises au hasard parmi celles effectuées par un livreur expérimenté sur une période donnée. On rappelle que la probabilité qu'un livreur expérimenté respecte les délais est de $95$ %.

On suppose que le nombre de colis est assez important pour assimiler le choix de cet échantillon à des tirages successifs avec remise. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis de cet échantillon livrés en respectant les délais.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.

2. L'évènement « tous les colis ont été livrés en respectant les délais de livraison » est-il un évènement impossible ? Justifier.

3. Donner $P(X \geqslant 190)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une aient une incidence sur celles dans l'autre :

• en zone A, les délais de livraison sont respectés dans $85$ % des cas ;
• en zone B, les délais de livraison sont respectés dans $90$ % des cas.

L'entreprise observe $120$ livraisons effectuées en zone A et $80$ livraisons effectuées en zone B. On note :

• $X_A$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés en respectant les délais en zone A ;
• $X_B$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés en respectant les délais en zone B ;
• $S = X_A + X_B$ la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés en respectant les délais.

On admet que $X_A$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(120\,;0{,}85)$ et que $X_B$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(80\,;0{,}90)$.

1. Calculer l'espérance et la variance des variables $X_A$ et $X_B$.

2. Calculer $\mathrm{E}(S)$.

3. Quelle condition permet d'affirmer que $\mathrm{V}(S) = 22{,}5$ ?

4. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer $P\left(S \in [165\,;183]\right)$ et interpréter le résultat.

Exercice 2 — Une suite et deux suites auxiliaires (5 points)

Partie A

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3\,;+\infty[$ par

On admet que $f$ est dérivable sur $]-3\,;+\infty[$.

1. Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel $x$ de $]-3\,;+\infty[$,

En déduire que $f$ est croissante sur $]-3\,;+\infty[$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

3. En déduire que $(u_n)$ est convergente.

Partie B

On admet que $u_n \neq 0$ pour tout entier naturel $n$. On note $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies, pour tout entier naturel $n$, par

1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$,

2. Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera les paramètres.

3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

5. a. Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction seuil() renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n$ soit inférieur ou égal à $10^{-3}$.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while ... :
        n = n + 1
        u = ...
    return ...

b. Quelle est la valeur renvoyée par la fonction seuil() ?

Exercice 3 — Vrai ou faux : géométrie dans l'espace (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Les affirmations sont indépendantes. Pour toutes les questions, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

1. Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ les trois vecteurs de l'espace de coordonnées respectives

Affirmation 1 : les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ forment une base de l'espace.

2. Soit les quatre points de l'espace

On admet que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ ne sont pas alignés.

Affirmation 2 : la droite $(\mathrm{CD})$ est orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$.

3. Soit $d$ la droite de l'espace de représentation paramétrique

et soit $P_1$ le plan de vecteur normal $\vec{n}(1\,;-2\,;3)$ passant par $\mathrm{E}(1\,;1\,;-1)$.

Affirmation 3 : l'intersection de la droite $d$ et du plan $P_1$ est le point $\mathrm{M}(2\,;2\,;-1)$.

4. Soit $\mathrm{N}(2\,;0\,;-2)$ et $\mathrm{H}(1\,;-2\,;0)$ deux points de l'espace, et soit $P_2$ le plan d'équation cartésienne $x + 2y - 2z + 3 = 0$.

Affirmation 4 : la distance de $\mathrm{N}$ au plan $P_2$ est $\mathrm{NH}$.

Exercice 4 — Équation différentielle et essai clinique (6 points)

On peut traiter indépendamment les parties A et B.

Partie A

On considère l'équation différentielle

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$.

1. Résoudre sur $[0\,;+\infty[$ l'équation différentielle

2. Soit $f$ la fonction dérivable sur $[0\,;+\infty[$ définie par $f(t) = 4t\,\mathrm{e}^{-\frac32 t}$. On admet que $f$ est une solution de $(E)$.

On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$. Démontrer que « $g$ est solution de $(E)$ » équivaut à « $g - f$ est solution de $(E')$ ».

3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

4. Déterminer toutes les solutions de $(E)$ qui s'annulent en $0$.

Partie B

Un essai clinique est réalisé auprès de plusieurs patients volontaires afin de valider ou non l'efficacité d'un médicament. On demande au patient d'avaler le médicament sous la forme d'un comprimé de $1$ mg, puis on étudie la quantité de ce médicament présente dans le sang au cours du temps.

Cette quantité, en milligrammes, en fonction du temps écoulé après la prise du comprimé, est modélisée par la fonction $f$ dérivable sur $[0\,;+\infty[$ définie par

où $t$ est exprimé en heures.

1. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. a. Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel $t$ positif,

b. Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.

c. Au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang est-elle maximale ?

3. Démontrer que l'équation $f(t) = 0{,}5$ admet une unique solution sur $[1\,;3]$. Donner un encadrement de cette solution, notée $\alpha$, à $10^{-2}$ près.

4. L'essai clinique sera validé si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

• Condition 1 : $50$ % de la quantité du médicament est éliminée de l'organisme au plus tard $2$ heures après la prise du comprimé.
• Condition 2 : la quantité moyenne de médicament présente dans le corps du patient entre $1$ heure et $3$ heures après la prise du comprimé est inférieure à $0{,}40$ mg.

La condition 1 est-elle réalisée ? La condition 2 est-elle réalisée ?