Bac Maths 2025 — Métropole septembre — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement de métropole (sujet 2, jour 2), 10 septembre 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 6, 5, 4 et 5 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Deux modèles pour El Niño (6 points)

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial, qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser son apparition.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : premier modèle

À partir d'un échantillon de données, on retient une première modélisation :

• chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0{,}4$ ;
• la survenue du phénomène est indépendante d'une année sur l'autre.

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de $10$ ans, compte le nombre d'années où El Niño est dominant.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. a. Calculer la probabilité que, sur une période de $10$ ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement $2$ années.

b. Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?

3. Calculer $\mathrm{E}(X)$. Interpréter ce résultat.

Partie B : second modèle

Après l'étude d'un recueil de données plus important, portant sur les $50$ dernières années, une autre modélisation paraît plus pertinente :

• si le phénomène El Niño est dominant une année, la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0{,}5$ ;
• en revanche, s'il n'est pas dominant une année, la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est $0{,}3$.

L'année de référence est $2023$. Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $E_n$ l'évènement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023 + n$ » ;
• $p_n$ la probabilité de l'évènement $E_n$.

En $2023$, El Niño n'était pas dominant : on a ainsi $p_0 = 0$.

1. Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré de la situation. Cet arbre part d'un nœud initial d'où sortent deux branches, menant à $E_n$ et à $\overline{E_n}$ ; seule la branche menant à $E_n$ porte déjà sa probabilité, $p_n$. De chacun de ces nœuds sortent ensuite deux branches menant à $E_{n+1}$ et à $\overline{E_{n+1}}$, dont les probabilités sont à compléter.

2. Justifier que $p_1 = 0{,}3$.

3. En s'aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$,

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

4. a. Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_n)$.

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $p_n \leqslant \dfrac38$.

c. Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$.

d. En déduire que la suite $(p_n)$ converge.

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

5. Soit $(u_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - \dfrac38$.

a. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$, et préciser son premier terme.

b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

c. Calculer la limite de la suite $(p_n)$.

d. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Exercice 2 — Juste ou faux (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Dans une classe de $24$ élèves, il y a $14$ filles et $10$ garçons.

Affirmation 1 : il est possible de constituer $272$ groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3\sin(2x + \pi)$, et $C$ sa courbe représentative dans un repère.

Affirmation 2 : une équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est $y = 6x - 3\pi$.

3. On considère la fonction $F$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $F(x) = (2x + 1)\ln(x)$.

Affirmation 3 : la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2}{x}$.

4. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t) = 45\,\mathrm{e}^{0,06\,t} + 20$.

Affirmation 4 : la fonction $g$ est l'unique solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E}_1) \ : \ y' + 0{,}06\,y = 1{,}2$ vérifiant $g(0) = 65$.

5. On considère l'équation différentielle

où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et $y'$ sa fonction dérivée.

Affirmation 5 : les solutions de l'équation $(\mathrm{E}_2)$ sont des fonctions convexes sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Un rectangle sous une courbe (4 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;8]$ par

et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$.

Partie A

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$.

2. En déduire que, pour tout $x \in \,]0\,;8]$, on a $f(x) \geqslant 0$.

3. Interpréter graphiquement ce résultat.

Partie B

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous sur l'intervalle $[3\,;8]$.

Soit $M$ le point de $C_f$ d'abscisse $x$, avec $x \in \,]0\,;8]$. On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées. Les quatre points $\mathrm{O}$, $N$, $M$ et $P$ forment ainsi un rectangle, dont un sommet est l'origine et le sommet opposé est sur la courbe.

Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle $\mathrm{O}NMP$.

1. Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.

2. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;8]$,

3. Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $\mathrm{O}NMP$ est maximale ? Si oui, déterminer cette position.

Partie C

On considère un réel strictement positif $k$. On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième et appartenant à $[3{,}5\,;8]$, pour laquelle l'aire $\mathcal{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$. On considère pour cela l'algorithme ci-dessous ; on rappelle qu'en langage Python, $\ln(x)$ s'écrit log(x).

from math import *
 
def A(x):
    return 10*log(-1*x**2 + 7*x + 9)
 
def pluspetitevaleur(k):
    x = 3.5
    while A(x) ..........:
        x = x + 0.1
    return ...........

1. Recopier et compléter les lignes de la boucle while et du return.

2. Quel nombre renvoie alors l'instruction pluspetitevaleur(30) ?

3. Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.

Exercice 4 — Le point équidistant de quatre points (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère les points

1. a. Vérifier que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ ne sont pas alignés.

On admet qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$ est $29x + 30y - 17z = 35$.

b. Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ sont-ils coplanaires ? Justifier.

On admet que, lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points. L'objectif de l'exercice est de déterminer le point $\mathrm{H}$ situé à égale distance des quatre points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$.

On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite qui porte ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.

2. Soit $P_1$ le plan médiateur du segment $[\mathrm{AB}]$.

a. Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[\mathrm{AB}]$.

b. En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est $5x - 2y + 5z = 10$.

3. On note $P_2$ le plan médiateur du segment $[\mathrm{CD}]$.

a. Soit $\mathrm{M}(x\,;y\,;z)$ un point du plan $P_2$. Exprimer $\mathrm{MC}^2$ et $\mathrm{MD}^2$ en fonction des coordonnées de $\mathrm{M}$, puis en déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_2$ est $-3x - 8y + z = 10$.

b. Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.

4. Soit $\Delta$ la droite de représentation paramétrique

Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_1$ et $P_2$.

On note $P_3$ le plan médiateur du segment $[\mathrm{AC}]$, et on admet qu'une équation cartésienne de $P_3$ est $8x - 10y - 4z = -15$.

5. Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.

6. Justifier que le point d'intersection de $\Delta$ et de $P_3$ est le point $\mathrm{H}$.