Bac Maths 2026 — Métropole — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole (jour 2), 17 juin 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Géométrie dans l'espace : produit scalaire, plans et volumes (5 points)

Dans le repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, on considère les points $A(2\,;1\,;1)$, $B(3\,;-2\,;0)$, $C(0\,;-1\,;1)$ et $D(0\,;0\,;2)$. Le sujet illustre ces quatre points par une figure en perspective représentant le tétraèdre $ABCD$ ; les coordonnées ci-dessus suffisent entièrement à traiter l'exercice, la figure n'apportant aucune information supplémentaire.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. a. Montrer que le vecteur $\vec n\,(1\,;-1\,;4)$ est normal au plan $(ABC)$. b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-y+4z-5=0$.
3. Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ est donnée par $x=t$, $y=-t$, $z=2+4t$, avec $t\in\mathbb R$.
4. Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point $H\left(-\dfrac16\,;\dfrac16\,;\dfrac43\right)$.
5. a. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. b. Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est $3\sqrt2$.
6. a. En déduire que le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $1$. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V=\dfrac13\,\mathcal B\,h$, où $\mathcal B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base. b. On admet que la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $\sqrt2$. En déduire l'aire du triangle $BCD$.
7. Dans cette question, on note $D_k$ le point de coordonnées $(0\,;0\,;k)$, où $k$ est un réel. a. Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D_k$ sont coplanaires. Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ? b. Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?

Exercice 2 — Suite et équation différentielle : modélisation d'une pollution (5 points)

Un bassin destiné à l'élevage des truites contient 30 000 litres d'eau, régulièrement renouvelée. Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières. On étudie dans les deux parties suivantes, indépendantes, un cas de contamination de l'eau par une substance polluante, à l'aide de deux modèles différents.

Partie A — modèle discret

On note $V_n$ le volume, en litre, de substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi $V_0=0$, et on admet que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1}=0{,}995\,V_n+6$.

1. Calculer $V_1$ et $V_2$.
2. On considère le script Python suivant, destiné à renvoyer le volume $V_n$, en litre, de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures, où $n$ est un entier naturel donné en argument :

def volume(n):
    v = ...
    for k in range(n):
        v = ...
    return v

Recopier et compléter ce script. 3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $V_n\leqslant V_{n+1}\leqslant 1200$. 4. Justifier que la suite $(V_n)$ converge, et calculer sa limite.

Partie B — modèle continu

On note $v(t)$ le volume, en litre, de substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$, exprimé en heure. On admet que $v$ est définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$, de fonction dérivée $v'$. On considère que le phénomène de pollution débute à l'instant $t=0$ ; ainsi $v(0)=0$. On admet que $v$ est solution de l'équation différentielle $(E)\,:\,y'=-0{,}005\,y+6$, où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, de dérivée $y'$.

1. a. Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$. b. Montrer que, pour tout réel $t\in[0\,;+\infty[$, $v(t)=1200\left(1-e^{-0{,}005t}\right)$. c. Calculer la limite de $v$ en $+\infty$. d. Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. Un taux de substance polluante supérieur à $5\,\%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?
3. Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas 50 litres. Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance polluante dépasse 50 litres dans le bassin, puis en donner une valeur en heure et minute, arrondie à la minute.

Exercice 3 — Vrai ou faux : probabilités et dénombrement (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On désigne par « musiciens professionnels » l'ensemble des femmes et des hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.

1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (pop, rap, rock, classique, etc.). Cette étude indique que :

   • $52\,\%$ des musiciens professionnels jouent de la Pop ;
   • parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, $32\,\%$ sont des femmes ;
   • $20\,\%$ des musiciens professionnels sont des femmes.

   On choisit au hasard une personne dans l'ensemble des musiciens professionnels, et on note $O$ l'événement « la personne joue de la Pop » et $F$ l'événement « la personne est une femme ».

   Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu'elle joue de la Pop est de $0{,}832$.

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à $6{,}2\,\%$. On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de $5\,000$ personnes au sein de cette population ; celle-ci est assez importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l'échantillon.

   Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a $P(X\leqslant340)\approx0{,}4$.

   Affirmation 3 : En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu'il y a plus de $95\,\%$ de chances que, sur cet échantillon de $5\,000$ actifs du secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre $230$ et $390$.

3. Un jeu sur le thème de la culture Pop est proposé à $10$ personnes, dont $4$ sont des musiciens professionnels. Deux équipes de $5$ joueurs s'affrontent ; elles sont chacune constituées de $2$ musiciens professionnels et de $3$ personnes qui ne le sont pas.

   Affirmation 4 : On peut former ainsi $120$ équipes différentes.

Exercice 4 — Étude d'une fonction et construction d'un logo (6 points)

Partie A

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$, de fonction dérivée $f'$. Le sujet fournit une partie de la courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthogonal (échelles différentes sur les deux axes), décrite ici : dans la fenêtre $x\in[-0{,}4\,;4{,}7]$, $y\in[-3{,}4\,;8{,}6]$, la courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\left(\dfrac12\,;0\right)$, où elle admet une tangente $T_A$ qui passe également par le point $B(1\,;e^2)$ (soit $B$ de coordonnées environ $(1\,;7{,}39)$) ; la courbe monte ensuite jusqu'au point $C$, d'abscisse $1$ (coordonnées environ $(1\,;2{,}72)$), où elle admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses ; au-delà de $C$, la courbe redescend.

1. À l'aide du graphique : a. Donner $f'(1)$. b. Donner la solution de l'équation $f(x)=0$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.
2. Déterminer $f'\left(\dfrac12\right)$.
3. Le sujet fournit également, dans la même fenêtre (jusqu'à $y\approx5{,}4$), trois courbes $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$, tracées sur $[0\,;5]$ : les courbes $\mathcal C_1$ (en tirets) et $\mathcal C_2$ (en pointillés) ont exactement la même allure, chacune admettant un minimum local à la même abscisse, $\mathcal C_1$ se plaçant entièrement $2$ unités au-dessus de $\mathcal C_2$ (elles se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale) ; la courbe $\mathcal C_3$ (en tiret-point) présente cette même allure caractéristique, mais décalée horizontalement de $0{,}4$ vers la droite par rapport à $\mathcal C_2$ (son minimum local est donc atteint $0{,}4$ plus loin). Parmi ces trois courbes, deux représentent des primitives de la fonction $f$. Indiquer lesquelles, et justifier.

Partie B

On admet que la fonction $f$ étudiée dans la partie A est définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(2x-1)e^{-2x+3}$.

Un industriel doit créer un logo dont le contour est modélisé à l'aide d'une portion de la courbe de $f$, sur un intervalle $[0{,}5\,;\alpha]$ (où $\alpha>1$ reste à déterminer), et de son symétrique par rapport à l'axe des abscisses (c'est-à-dire de la courbe de $-f$) sur ce même intervalle : l'ensemble forme, dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, une figure en amande symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Le client impose une contrainte : à l'extrémité droite de l'amande (abscisse $\alpha$), l'écart vertical entre la branche supérieure (celle de $f$) et la branche inférieure (celle de $-f$) doit mesurer $0{,}3$ cm.

1. a. Vérifier que, pour tout réel $x\in[0\,;+\infty[$, $f(x)=e^2\times\dfrac{2x-1}{e^{2x-1}}$. b. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra poser $X=2x-1$).
2. a. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;+\infty[$, $f'(x)=(-4x+4)\,e^{-2x+3}$. b. Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f(\alpha)=0{,}15$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l'intervalle $[1\,;+\infty[$ vérifiant cette égalité, puis en donner une valeur arrondie au dixième.

Partie C

On fabrique un porte-clés en découpant, dans une plaque d'acier d'épaisseur $0{,}2$ cm, la forme du logo de la partie B, sur l'intervalle $[0{,}5\,;3{,}3]$ (valeur arrondie de $\alpha$).

1. On considère $I=\displaystyle\int_{0{,}5}^{3{,}3}f(x)\,\mathrm dx$. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $I$, arrondie au dixième, est égale à $3{,}6$.
2. Le volume du porte-clés est égal à l'aire du logo multipliée par l'épaisseur de la plaque. Déterminer ce volume, en cm³, arrondi au dixième.