Bac Maths 2025 — Métropole — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole (sujet 2, jour 2), 18 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Un week-end au centre multisports (5 points)

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment. Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule, et on désigne par :

• $A$ l'évènement « la personne chute pendant la première séance » ;
• $B$ l'évènement « la personne chute pendant la deuxième séance ».

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P(A) = 0{,}6$. On constate de plus que :

• si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}3$ ;
• si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}4$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité $P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)$ et interpréter le résultat.

3. Montrer que $P(B) = 0{,}34$.

4. La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.

5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de $100$ personnes à un tirage avec remise, et on admet que la probabilité qu'une personne ne chute lors d'aucune des deux séances vaut $0{,}24$.

a. Montrer que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.

b. Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes, au moins $20$ personnes qui ne chutent lors d'aucune des deux séances ?

c. Calculer l'espérance $\mathrm{E}(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. On note $T_1$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total, en minutes, avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et $T_2$ la variable analogue pour la journée du dimanche. On admet que :

• $T_1$ suit une loi de probabilité d'espérance $\mathrm{E}(T_1) = 40$ et d'écart-type $\sigma(T_1) = 10$ ;
• $T_2$ suit une loi de probabilité d'espérance $\mathrm{E}(T_2) = 60$ et d'écart-type $\sigma(T_2) = 16$ ;
• les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes.

On note $T = T_1 + T_2$ le temps total d'attente sur les deux jours, en minutes.

1. Déterminer l'espérance $\mathrm{E}(T)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Montrer que la variance $\mathrm{V}(T)$ vaut $356$.

3. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0{,}77$.

Exercice 2 — Droites sécantes, projeté orthogonal et angle droit (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère :

• les points $\mathrm{A}(-1\,;2\,;1)$, $\mathrm{B}(1\,;-1\,;2)$ et $\mathrm{C}(1\,;1\,;1)$ ;
• la droite $d$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = \dfrac32 + 2t \\[2pt] y = 2 + t \\[2pt] z = 3 - t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R} ;$$

• la droite $d'$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = s \\[2pt] y = \dfrac32 + s \\[2pt] z = 3 - 2s \end{cases} \qquad s \in \mathbb{R}.$$

Partie A

1. Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $\mathrm{S}\left(-\dfrac12\,;1\,;4\right)$.

2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(1\,;2\,;4)$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ABC})$.

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$ est

$$x + 2y + 4z - 7 = 0.$$

3. Démontrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{S}$ ne sont pas coplanaires.

4. a. Démontrer que le point $\mathrm{H}(-1\,;0\,;2)$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{S}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$.

b. En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(\mathrm{ABC})$ tel que $\mathrm{S}M \lt \dfrac{\sqrt{21}}{2}$.

Partie B

On considère un point $M$ appartenant au segment $[\mathrm{CS}]$ ; on a donc $\overrightarrow{\mathrm{C}M} = k\,\overrightarrow{\mathrm{CS}}$ avec $k$ réel de l'intervalle $[0\,;1]$.

1. Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.

2. Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[\mathrm{CS}]$ tel que le triangle $M\mathrm{AB}$ soit rectangle en $M$ ?

Exercice 3 — Vrai ou faux (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. La suite $(u_n)$ est définie, pour tout entier naturel $n$, par

$$u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 + 3^n}.$$

Affirmation 1 : la suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac53$.

2. On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$.

Affirmation 2 : pour tout entier naturel $n$, $w_n \geqslant n$.

3. On considère une fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$, dont l'énoncé fournit la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé. On précise que :

• $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $8$, dont l'ordonnée est voisine de $4{,}3$ ;
• l'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.

Point d'abscisse a = 8.00 — glissez le point orange le long de la courbe — f'(a) ≈ 0.52

Affirmation 3 : d'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.

4. Affirmation 4 : pour tout réel $x \gt 0$,

$$\ln(x) - x + 1 \leqslant 0,$$

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Exercice 4 — L'arrêt d'un chariot de manège (6 points)

Cet exercice étudie l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours. On note $t$ le temps écoulé, en secondes, depuis l'entrée du chariot dans cette zone.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, en mètres, par une fonction $d$ définie sur $[0\,;+\infty[$, avec $d(0) = 0$. On admet que $d$ est dérivable sur cet intervalle et on note $d'$ sa dérivée.

Partie A

L'énoncé fournit une figure portant la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de la fonction $d$, la tangente $T$ à cette courbe au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $4{,}7$, et l'asymptote horizontale $\Delta$ à $\mathcal{C}_d$ en $+\infty$.

Point d'abscisse a = 4.70 — glissez le point orange le long de la courbe — f'(a) ≈ 1.00

Dans cette partie, aucune justification n'est attendue. Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous. D'après ce modèle :

1. Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$ m dans la zone de freinage ?

2. Quelle longueur minimale doit-on prévoir pour la zone de freinage ?

3. Que vaut $d'(4{,}7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètres par seconde, par une fonction $v$ définie sur $[0\,;+\infty[$. On admet que :

• $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v'$ sa dérivée ;
• $v$ est solution de l'équation différentielle

$$(E)\ : \quad y' + 0{,}6\,y = \mathrm{e}^{-0{,}6t},$$

où $y$ est une fonction inconnue et $y'$ sa dérivée.

On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot vaut $12$ m·s⁻¹, c'est-à-dire $v(0) = 12$.

1. a. Déterminer les solutions sur $[0\,;+\infty[$ de l'équation différentielle

$$(E')\ : \quad y' + 0{,}6\,y = 0.$$

b. Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(t) = t\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}$. Vérifier que $g$ est une solution de $(E)$.

c. En déduire les solutions de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$.

d. En déduire que, pour tout réel $t$ de $[0\,;+\infty[$,

$$v(t) = (12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}.$$

2. a. Montrer que, pour tout réel $t$ de $[0\,;+\infty[$, $v'(t) = (-6{,}2 - 0{,}6t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}$.

b. En admettant que

$$v(t) = 12\,\mathrm{e}^{-0{,}6t} + \dfrac{1}{0{,}6} \times \dfrac{0{,}6t}{\mathrm{e}^{0{,}6t}},$$

déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.

c. Étudier le sens de variation de $v$ et dresser son tableau de variations complet. Justifier.

d. Montrer que l'équation $v(t) = 1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée au dixième.

3. Lorsque la vitesse du chariot devient inférieure ou égale à $1$ mètre par seconde, un système mécanique se déclenche et permet son arrêt complet. Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.

Partie C

On rappelle que, pour tout réel $t$ de $[0\,;+\infty[$, $v(t) = (12 + t)\,\mathrm{e}^{-0{,}6t}$, et on admet que

$$d(t) = \int_0^t v(x)\,\mathrm{d}x.$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants $0$ et $t$ est donnée par

$$d(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\left(-\dfrac53 t - \dfrac{205}{9}\right) + \dfrac{205}{9}.$$

2. Le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse devient inférieure ou égale à $1$ mètre par seconde. Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.