Bac Maths 2025 — Métropole — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole (sujet 1, jour 1), 17 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Groupes sanguins et don du sang (5 points)

L'espèce humaine compte quatre groupes sanguins : A, B, AB et O. Chaque groupe peut présenter un facteur rhésus : lorsqu'il est présent, le rhésus est dit positif, sinon il est dit négatif.

Au sein de la population française, on sait que :

• $45$ % des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux $85$ % sont de rhésus positif ;
• $10$ % des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux $84$ % sont de rhésus positif ;
• $3$ % des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux $82$ % sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française et on désigne par :

• $A$ l'évènement « la personne choisie est de groupe sanguin A » ;
• $B$ l'évènement « la personne choisie est de groupe sanguin B » ;
• $AB$ l'évènement « la personne choisie est de groupe sanguin AB » ;
• $O$ l'évènement « la personne choisie est de groupe sanguin O » ;
• $R$ l'évènement « la personne choisie a un facteur rhésus positif ».

Pour un évènement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ son évènement contraire et $p(E)$ sa probabilité.

1. L'énoncé fournit un arbre pondéré dont les dix probabilités sont remplacées par des pointillés. Sa racine se sépare en quatre branches menant à $A$, $B$, $AB$ et $O$ ; chacun de ces quatre nœuds se sépare ensuite en deux branches menant à $R$ et à $\overline{R}$.

Reproduire cet arbre en complétant les dix pointillés.

2. Montrer que $p(B \cap R) = 0{,}084$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3. On précise que $p(R) = 0{,}8397$. Montrer que $p_O(R) = 0{,}83$.

4. On dit qu'un individu est « donneur universel » lorsque son sang peut être transfusé à toute personne sans risque d'incompatibilité ; le groupe O de rhésus négatif est le seul à vérifier cette caractéristique.

Montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel vaut $0{,}0714$.

5. Lors d'une collecte de sang, on choisit un échantillon de $100$ personnes dans la population d'une ville française. Cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes, associe le nombre de donneurs universels qu'il contient.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, dont on précisera les paramètres.

b. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'il y ait au plus $7$ donneurs universels dans cet échantillon.

c. Montrer que l'espérance $\mathrm{E}(X)$ vaut $7{,}14$ et que la variance $\mathrm{V}(X)$ vaut $6{,}63$ à $10^{-2}$ près.

6. Lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte est organisée dans $N$ villes françaises choisies au hasard et numérotées $1$, $2$, …, $N$, où $N$ est un entier naturel non nul.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui, à chaque échantillon de $100$ personnes de la ville $1$, associe le nombre de donneurs universels ; on définit de même $X_2$, …, $X_N$. Ces variables sont supposées indépendantes, de même espérance $7{,}14$ et de même variance $6{,}63$.

On pose

a. Que représente la variable aléatoire $M_N$ dans le contexte de l'exercice ?

b. Calculer l'espérance $\mathrm{E}(M_N)$.

c. Montrer que $\mathrm{V}(M_N) = \dfrac{6{,}63}{N}$.

d. Déterminer la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que

Exercice 2 — Une fonction avec logarithme, et une aire (6 points)

On considère une fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$, deux fois dérivable sur cet intervalle. On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

L'énoncé fournit, dans un repère orthogonal, un graphique portant :

• la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, tracée sur $]0\,;3]$ ;
• la droite $T_{\mathrm{A}}$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $\mathrm{A}(1\,;2)$ ;
• la droite $T_{\mathrm{B}}$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $\mathrm{B}(\mathrm{e}\,;\mathrm{e})$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_{\mathrm{A}}$ passe par le point $\mathrm{C}(3\,;0)$. La figure fait apparaître un domaine hachuré, compris entre la courbe et la tangente $T_{\mathrm{B}}$, entre les droites d'équations $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$.

Partie A : lectures graphiques

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

1. Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.

2. Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $]0\,;3]$ ?

3. Quel est le signe de $f''(0{,}2)$ ?

Partie B : étude de la fonction $f$

On admet dans cette partie que $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2X^2 - 3X + 2 = 0$. En déduire que $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

2. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$. On admettra que la limite de $f$ en $0$ vaut $0$.

3. On admet que, pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$, $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.

a. Montrer que, pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$,

b. Étudier la convexité de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.

c. Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_{\mathrm{B}}$ sur l'intervalle $]1\,;+\infty[$.

Partie C : calcul d'aire

1. Justifier que la tangente $T_{\mathrm{B}}$ a pour équation réduite $y = 2x - \mathrm{e}$.

2. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

3. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré, délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T_{\mathrm{B}}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$. On admet que

En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$, en unités d'aire.

Exercice 3 — Vrai ou faux : géométrie dans l'espace (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$.

1. On considère les points $\mathrm{A}(-1\,;0\,;5)$ et $\mathrm{B}(3\,;2\,;-1)$.

Affirmation 1 : une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{AB})$ est

Affirmation 2 : le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(5\,;-2\,;1)$ est normal au plan $(\mathrm{OAB})$.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique

et la droite $d'$ de représentation paramétrique

Affirmation 3 : les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.

3. On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x - y + z + 1 = 0$.

Affirmation 4 : la distance du point $\mathrm{C}(2\,;-1\,;2)$ au plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{3}$.

Exercice 4 — La posidonie de la baie de l'Alycastre (5 points)

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine, la posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles. La zone étudiée a une superficie totale de $20$ hectares (ha) et, au premier juillet $2024$, la posidonie en recouvrait $1$ ha.

Partie A : étude d'un modèle discret

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la superficie de la zone, en hectares, recouverte par la posidonie au premier juillet de l'année $2024 + n$ ; ainsi $u_0 = 1$. Une étude a permis d'établir que, pour tout entier naturel $n$,

1. Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet $2025$ d'après ce modèle.

2. On note $h$ la fonction définie sur $[0\,;20]$ par $h(x) = -0{,}02x^2 + 1{,}3x$. On admet que $h$ est croissante sur $[0\,;20]$.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$.

b. En déduire que la suite $(u_n)$ converge. On note $L$ sa limite.

c. Justifier que $L = 15$.

3. Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte dépassera les $14$ hectares.

a. Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.

b. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'exécution il affiche la réponse à la question des biologistes.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while ...... :
        n = ......
        u = ......
    return n

Partie B : étude d'un modèle continu

On souhaite décrire la superficie recouverte au cours du temps par un modèle continu. Pour une durée $t$, en années, écoulée depuis le premier juillet $2024$, cette superficie est donnée par $f(t)$, où $f$ est une fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ vérifiant :

• $f(0) = 1$ ;
• $f$ ne s'annule pas sur $[0\,;+\infty[$ ;
• $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ ;
• $f$ est solution sur $[0\,;+\infty[$ de l'équation différentielle

On admet qu'une telle fonction existe ; le but de cette partie est d'en déterminer une expression. On note $f'$ la dérivée de $f$.

1. Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(t) = \dfrac{1}{f(t)}$. Montrer que $g$ est solution de l'équation différentielle

2. Donner les solutions de l'équation différentielle $(E_2)$.

3. En déduire que, pour tout $t$ de $[0\,;+\infty[$,

4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

5. Résoudre dans $[0\,;+\infty[$ l'inéquation $f(t) \gt 14$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.