Bac Maths 2022 — Métropole — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole, 12 mai 2022. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. Format transitoire post-réforme : 4 exercices sont proposés, le candidat n'en traite que 3 au choix — les 4 sont présentés ici avec leur corrigé.

Exercice 1 — Probabilités : test de dépistage chez le coyote (7 points)

Dans l'Oklahoma, 70 % des coyotes sont atteints d'une maladie appelée ehrlichiose. Un test de dépistage donne un résultat positif dans 97 % des cas chez un coyote malade, et un résultat négatif dans 95 % des cas chez un coyote sain.

Partie A

On capture un coyote au hasard et on le teste. $M$ : « le coyote est malade », $T$ : « le test est positif ».

1. Compléter un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Calculer $P(M\cap T)$.
3. Montrer que $P(T)=0{,}694$.
4. Calculer la « valeur prédictive positive » du test, $P_T(M)$ (arrondie au millième).
5. a. Définir par analogie la « valeur prédictive négative » du test et la calculer (arrondie au millième). b. Comparer les deux valeurs prédictives et interpréter.

Partie B

On rappelle $P(T)=0{,}694$.

1. On capture 5 coyotes au hasard (tirage avec remise). $X$ compte le nombre de tests positifs. a. Donner la loi de $X$ et ses paramètres. b. Calculer $P(X=1)$ (arrondie au centième). c. Un vétérinaire affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux que 4 coyotes au moins sur 5 aient un test positif. A-t-il raison ?
2. Combien de coyotes faut-il capturer pour que la probabilité qu'au moins l'un d'eux ait un test positif dépasse $0{,}99$ ?

Exercice 2 — QCM, fonctions et suites (7 points)

Une seule réponse exacte par question, aucune justification demandée.

Pour les questions 1 à 3, $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R$ ; on donne la courbe de $f'$ (admettant un maximum en $x=-\frac32$, coupant l'axe des abscisses en $x=-\frac12$, positive avant $-\frac12$ et négative après).

1. a) $f$ admet un maximum en $-\frac32$ b) $f$ admet un maximum en $-\frac12$ c) $f$ admet un minimum en $-\frac12$ d) la courbe de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-1$.
2. a) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac32\right[$ b) $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\frac12\right[$ c) la courbe de $f$ n'admet pas de point d'inflexion d) $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;-\frac12\right[$.
3. a) $f''(x)\geqslant0$ pour $x\in\left]-\infty\,;-\frac12\right[$ b) $f''(x)\geqslant0$ pour $x\in[-2\,;-1]$ c) $f''\left(-\frac32\right)=0$ d) $f''(-3)=0$.
4. On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ avec, pour tout $n$, $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$, $\lim u_n=1$ et $\lim w_n=3$. On peut affirmer : a) $(v_n)$ converge b) si $(u_n)$ est croissante, alors $(v_n)$ est minorée par $u_0$ c) $1\leqslant v_0\leqslant3$ d) $(v_n)$ diverge.
5. Soit $(u_n)$ telle que, pour tout $n\geqslant1$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n$. On peut affirmer : a) $(u_n)$ diverge b) $(u_n)$ converge c) $\lim u_n=0$ d) $\lim u_n=1$.
6. Soit $(u_n)$ telle que, pour tout $n$, $n<u_n<n+1$. On peut affirmer : a) il existe $N$ tel que $u_N$ soit un entier b) $(u_n)$ est croissante c) $(u_n)$ converge d) $(u_n)$ n'a pas de limite.

Exercice 3 — Géométrie : cube et tétraèdre (7 points)

$ABCDEFGH$ est un cube ; $K$ est le milieu de $[BC]$. On travaille dans le repère $(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$ et on étudie le tétraèdre $EFGK$.

1. Donner les coordonnées de $E$, $F$, $G$, $K$.
2. Montrer que $\vec n(2\,;-2\,;1)$ est orthogonal au plan $(EGK)$.
3. Montrer que $(EGK)$ a pour équation cartésienne $2x-2y+z-1=0$.
4. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale à $(EGK)$ passant par $F$.
5. Montrer que le projeté orthogonal $L$ de $F$ sur $(EGK)$ a pour coordonnées $\left(\dfrac59\,;\dfrac49\,;\dfrac79\right)$.
6. Justifier que $LF=\dfrac23$.
7. Calculer l'aire de $EFG$ ; en déduire que le volume de $EFGK$ vaut $\dfrac16$.
8. En déduire l'aire du triangle $EGK$.
9. Soit $P$, $M$, $N$ les milieux respectifs de $[EG]$, $[EK]$, $[GK]$. Déterminer le volume du tétraèdre $FPMN$.

Exercice 4 — Trajectoire d'une balle de golf (7 points)

On étudie, sur $[0\,;+\infty[$, $f(x)=0{,}06(-x^2+13{,}7x)$ et $g(x)=(-0{,}15x+2{,}2)e^{0{,}2x}-2{,}2$.

Partie A

1. On donne le tableau de variations de $f$ (croissante sur $[0\,;6{,}85]$ jusqu'à un maximum, puis décroissante vers $-\infty$). a. Justifier la limite de $f$ en $+\infty$. b. Justifier les variations de $f$. c. Résoudre $f(x)=0$.
2. a. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)$. b. Montrer que $g'(x)=(-0{,}03x+0{,}29)e^{0{,}2x}$. c. Étudier les variations de $g$ et donner la valeur approchée à $10^{-2}$ de son maximum. d. Montrer que $g(x)=0$ admet une unique solution non nulle et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$.

Partie B

On modélise, avec $x$ la distance horizontale parcourue par une balle de golf (en dizaines de yards) et $f(x)$ ou $g(x)$ la hauteur correspondante (en dizaines de yards), sa trajectoire de deux façons. On admet que $13{,}7$ annule $f$ et approche le zéro non nul de $g$. L'angle de décollage $d$ vérifie $\tan(d)=$ coefficient directeur de la tangente en $x=0$ ; l'angle d'atterrissage $a$ vérifie $\tan(a)=$ opposé du coefficient directeur de la tangente en $x=13{,}7$.

1. Premier modèle ($f$) : a. Quelle est la hauteur maximale (en yards) ? b. Vérifier $f'(0)=0{,}822$. c. Donner l'angle de décollage, arrondi au dixième de degré. d. Quelle propriété de la courbe de $f$ justifie que les angles de décollage et d'atterrissage soient égaux ?
2. Second modèle ($g$), avec $g'(0)=0{,}29$ et $g'(13{,}7)\approx-1{,}87$ : a. Quelle est la hauteur maximale (en yards) ? b. Donner l'angle de décollage, arrondi au dixième de degré. c. Justifier que $62°$ est une valeur approchée de l'angle d'atterrissage.

Partie C

Des observations sur des joueurs professionnels donnent : angle de décollage $24°$, hauteur maximale 32 yards, angle d'atterrissage $52°$, distance horizontale au point de chute 137 yards. Quel modèle semble le plus adapté ? Justifier.