Bac Maths 2022 — Métropole — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de Métropole, 11 mai 2022. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. Format transitoire post-réforme : 4 exercices sont proposés, le candidat n'en traite que 3 au choix — les 4 sont présentés ici avec leur corrigé.

Exercice 1 — Fonction exponentielle et suites (7 points)

Dans le cadre d'un essai clinique, on compare deux protocoles de traitement, à travers l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient au cours du temps. Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A — Premier protocole (comprimé)

On modélise la quantité de médicament (en mg) par $f(t)=3te^{-0{,}5t+1}$ sur $[0\,;10]$, où $t$ est le temps écoulé (en heures) depuis la prise.

1. a. Montrer que $f'(t)=3(-0{,}5t+1)e^{-0{,}5t+1}$ pour tout $t\in[0\,;10]$. b. En déduire le tableau de variations de $f$. c. Au bout de combien de temps la quantité de médicament est-elle maximale, et quelle est cette quantité ?
2. a. Montrer que $f(t)=5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;2]$, valeur approchée à $10^{-2}$. On admet une autre solution $\beta\approx3{,}46$ sur $[2\,;10]$. b. Le traitement est efficace quand la quantité $\geqslant5$ mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité.

Partie B — Second protocole (piqûre intraveineuse)

On injecte initialement 2 mg, puis 1,8 mg toutes les heures ; une heure après une injection, il ne reste que 70 % de la quantité présente juste après. On modélise par $(u_n)$, $u_0=2$, la quantité de médicament (en mg) juste après l'injection de la $n$-ième heure.

1. Calculer $u_1$.
2. Justifier que, pour tout $n$, $u_{n+1}=0{,}7u_n+1{,}8$.
3. a. Montrer par récurrence que, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}<6$. b. En déduire que $(u_n)$ converge, vers une limite $\ell$. c. Déterminer $\ell$ et interpréter.
4. Soit $(v_n)$ définie par $v_n=6-u_n$. a. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}7$ et préciser $v_0$. b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$. c. On arrête les injections dès que la quantité atteint 5,5 mg. Déterminer le nombre d'injections réalisées.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (7 points)

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, on considère $A(-1\,;1\,;3)$ et la droite $\mathscr D$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$ (on admet $A\notin\mathscr D$).

1. a. Donner un vecteur directeur $\vec u$ de $\mathscr D$. b. Montrer que $B(-1\,;3\,;0)$ appartient à $\mathscr D$. c. Calculer $\vec{AB}\cdot\vec u$.
2. Soit $\mathscr P$ le plan passant par $A$ et orthogonal à $\mathscr D$, et $H$ le point d'intersection de $\mathscr P$ et $\mathscr D$ (projeté orthogonal de $A$ sur $\mathscr D$). a. Montrer que $\mathscr P$ a pour équation cartésienne $2x-y+2z-3=0$. b. En déduire que $H\left(\dfrac79\,;\dfrac{19}9\,;\dfrac{16}9\right)$. c. Calculer la longueur exacte $AH$.
3. On retrouve $H$ par une autre méthode, sachant $B\in\mathscr D$ et $\vec u$ dirige $\mathscr D$. a. Justifier qu'il existe $k\in\mathbb R$ tel que $\vec{HB}=k\vec u$. b. Montrer que $k=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec u}{\|\vec u\|^2}$. c. Calculer $k$ et retrouver les coordonnées de $H$.
4. Soit $C$ un point de $\mathscr P$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ vaille $\dfrac89$. Calculer l'aire du triangle $ACH$ (on rappelle $V=\dfrac13\times\mathscr B\times h$).

Exercice 3 — Probabilités (7 points)

Un directeur d'entreprise a proposé à ses salariés un stage de formation, suivi par 25 % d'entre eux. Parmi les 52 % de femmes salariées, 40 % ont suivi le stage. On interroge un salarié au hasard ; $F$ : « c'est une femme », $S$ : « il/elle a suivi le stage ».

1. a. Donner $P(S)$. b. Compléter un arbre pondéré correspondant. c. Montrer que $P(F\cap S)=0{,}208$. d. Sachant que la personne a suivi le stage, quelle est la probabilité que ce soit une femme ? e. Le directeur affirme que, parmi les hommes, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier.
2. $X$ compte le nombre de salariés ayant suivi le stage dans un échantillon de 20 (tirage avec remise). a. Donner, en justifiant, la loi de $X$. b. Calculer $P(X=5)$, arrondie au centième. c. Le programme Python suivant utilise une fonction binomiale(i,n,p) renvoyant $P(X=i)$ :

def proba(k):
    P = 0
    for i in range(0, k+1):
        P = P + binomiale(i, 20, 0.25)
    return P

Que renvoie proba(5), à $10^{-3}$ près ? Interpréter. d. En déduire $P(X\geqslant6)$, à $10^{-3}$ près. 3. (Indépendante des précédentes.) L'entreprise augmente de 5 % le salaire des salariés ayant suivi le stage, et de 2 % celui des autres. Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires ?

Exercice 4 — QCM, fonctions (7 points)

Une seule réponse exacte par question, aucune justification demandée, aucun point retiré en cas d'erreur ou d'absence de réponse.

1. La courbe de $f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ admet pour asymptote : a) $x=-2$ b) $y=-1$ c) $y=-2$ d) $y=0$.
2. Soit $f(x)=xe^{x^2}$ sur $\mathbb R$. La primitive $F$ vérifiant $F(0)=1$ est : a) $F(x)=\dfrac{x^2}2e^{x^2}$ b) $F(x)=\dfrac12e^{x^2}$ c) $F(x)=(1+2x^2)e^{x^2}$ d) $F(x)=\dfrac12e^{x^2}+\dfrac12$.
3. On donne la représentation graphique de $f'$ (courbe croissante depuis l'origine, atteignant un maximum vers $x=3$, puis décroissante). On peut affirmer que $f$ est : a) concave sur $]0\,;+\infty[$ b) convexe sur $]0\,;+\infty[$ c) convexe sur $[0\,;2]$ d) convexe sur $[2\,;+\infty[$.
4. Parmi les primitives de $f(x)=3e^{-x^2}+2$ sur $\mathbb R$ : a) toutes croissantes sur $\mathbb R$ b) toutes décroissantes sur $\mathbb R$ c) certaines croissantes, d'autres décroissantes d) toutes croissantes sur $]-\infty\,;0]$ et décroissantes sur $[0\,;+\infty[$.
5. $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x}{3x^2+1}$ vaut : a) $\dfrac23$ b) $+\infty$ c) $-\infty$ d) $0$.
6. L'équation $e^{2x}+e^x-12=0$ admet dans $\mathbb R$ : a) trois solutions b) deux solutions c) une seule solution d) aucune solution.