Bac Maths 2024 — Centres étrangers (Suède) — Sujet 1 bis

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session des centres étrangers — Suède (sujet 1 bis), 7 juin 2024. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 4, 5, 7 et 4 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Juste ou faux (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : soit $(\mathrm{E})$ l'équation différentielle $y' - 2y = -6x + 1$. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 6x + 1$ est une solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E})$.

Affirmation 2 : on considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par

La suite $(u_n)$ a pour limite $+\infty$.

Affirmation 3 : on considère la suite $(u_n)$ définie dans l'affirmation 2. L'instruction suite(50) ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

def suite(k):
    S = 0
    for i in range(k):
        S = S + (3/4)**k
    return S

Affirmation 4 : soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = a\ln(x) - 2x$, et soit $C$ sa courbe représentative dans un repère $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$. Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d'abscisse $1$ est parallèle à l'axe des abscisses.

Exercice 2 — Les services d'un joueur de volley-ball (5 points)

Au cours d'une séance, un joueur de volley-ball s'entraîne à faire des services. La probabilité qu'il réussisse le premier service est égale à $0{,}85$. On suppose de plus que :

• si le joueur réussit un service, la probabilité qu'il réussisse le suivant est égale à $0{,}6$ ;
• si le joueur ne réussit pas un service, la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est égale à $0{,}6$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l'évènement « le joueur réussit le $n$-ième service », et $\overline{R_n}$ l'évènement contraire.

Partie A

On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R_2$ est égale à $0{,}57$.

3. Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu'il ait raté le premier.

4. Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.

a. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ ; on pourra utiliser l'arbre de la question 1.

b. Calculer l'espérance $\mathrm{E}(Z)$ de la variable aléatoire $Z$, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

On s'intéresse maintenant au cas général. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.

1. a. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\overline{R_n}}\left(\overline{R_{n+1}}\right)$.

b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $x_{n+1} = 0{,}2\,x_n + 0{,}4$.

2. Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n = x_n - 0{,}5$.

a. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.

b. Déterminer l'expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $(x_n)$.

c. Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

Exercice 3 — L'évaluation de deux appareils de chauffage (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l'un de marque A et l'autre de marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de marque A

À l'aide d'une sonde, on a mesuré la température à l'intérieur du foyer d'un appareil de marque A. On a représenté ci-dessous la courbe de cette température, en degrés Celsius, en fonction du temps écoulé depuis l'allumage du foyer, exprimé en minutes.

Par lecture graphique :

1. Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l'intérieur du foyer.

2. Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l'intérieur du foyer dépasse $300$ °C.

3. On note $f$ la fonction représentée sur le graphique. Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600}\displaystyle\int_0^{600} f(t)\,\mathrm{d}t$, et interpréter le résultat.

Partie 2 : étude d'une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$ par

1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

2. a. Montrer que, pour tout $t \in [0\,;+\infty[$, $g'(t) = (-0{,}1\,t + 10)\,\mathrm{e}^{-0,01\,t}$.

b. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0\,;+\infty[$, et construire son tableau de variations.

3. Démontrer que l'équation $g(t) = 300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0\,;+\infty[$. En donner des valeurs approchées à l'unité.

4. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_0^{600} g(t)\,\mathrm{d}t$.

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de marque B, la température en degrés Celsius à l'intérieur du foyer, $t$ minutes après l'allumage, est modélisée sur $[0\,;600]$ par la fonction $g$.

L'organisme certificateur attribue une étoile par critère validé, parmi les quatre suivants :

• critère 1 : la température maximale est supérieure à $320$ °C ;
• critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de $2$ heures ;
• critère 3 : la température moyenne durant les $10$ premières heures après l'allumage dépasse $250$ °C ;
• critère 4 : la température à l'intérieur du foyer ne dépasse pas $300$ °C pendant plus de $5$ heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier la réponse.

Exercice 4 — Deux avions de voltige (4 points)

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

• on se place dans un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$, une unité représentant un mètre ;
• l'avion n° 1 doit relier le point $\mathrm{O}$ au point $\mathrm{A}(0\,;200\,;0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200$ m/s ;
• l'avion n° 2 doit relier le point $\mathrm{B}(-33\,;75\,;44)$ au point $\mathrm{C}(87\,;75\,;-116)$, lui aussi selon une trajectoire rectiligne et à la vitesse constante de $200$ m/s ;
• au même instant, l'avion n° 1 est au point $\mathrm{O}$ et l'avion n° 2 au point $\mathrm{B}$.

La figure de l'énoncé représente ces quatre points en perspective, avec les segments $[\mathrm{OA}]$ et $[\mathrm{BC}]$.

1. Justifier que l'avion n° 2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[\mathrm{BC}]$ que l'avion n° 1 à parcourir le segment $[\mathrm{OA}]$.

2. Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.

3. Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?