Bac Maths 2025 — Centres étrangers — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session des Centres étrangers (sujet 2, jour 2), 13 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Suites et modèles de population (6 points)

On compare l'évolution d'une population animale dans deux milieux A et B. Au 1er janvier 2025, 6000 individus sont introduits dans chacun des deux milieux.

Partie A — Milieu A

On modélise la population du milieu A par la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=6$ et de raison $0{,}93$ ($u_n$, en milliers d'individus, représente la population au 1er janvier de l'année $2025+n$).

1. Donner la population au 1er janvier 2026 selon ce modèle.
2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
3. Déterminer $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n$ et interpréter.

Partie B — Milieu B

On modélise la population du milieu B par $(v_n)$ définie par $v_0=6$ et, pour tout $n$, $v_{n+1}=-0{,}05v_n^2+1{,}1v_n$. Soit $f(x)=-0{,}05x^2+1{,}1x$ sur $[0\,;+\infty[$.

1. Donner la population au 1er janvier 2026 selon ce modèle.
2. Montrer que $f$ est croissante sur $[0\,;11]$.
3. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$, $2\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n\leqslant6$.
4. En déduire que $(v_n)$ converge vers une limite $\ell$.
5. a. Justifier que $\ell$ vérifie $f(\ell)=\ell$, puis déterminer $\ell$. b. Interpréter.

Partie C — Comparaison

1. En résolvant une inéquation, déterminer à partir de quelle année la population du milieu A sera strictement inférieure à 3000 individus.
2. À la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la population du milieu B sera strictement inférieure à 3000 individus.
3. Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population de B dépasse celle de A.
4. On considère le programme Python suivant :

n = 0
u = 6
v = 6
while ... :
    u = ...
    v = ...
    n = n + 1
print(2025 + n)

a. Recopier et compléter ce programme pour qu'il affiche l'année à partir de laquelle la population de B dépasse strictement celle de A. b. Déterminer l'année affichée.

Exercice 2 — Fonction logistique, primitive et valeur moyenne (6 points)

Partie A

Soit $f(x)=\dfrac1{a+e^{-bx}}$ sur $[0\,;+\infty[$, $a,b>0$, dérivable. Sa courbe $\mathscr C_f$ passe par $A(0\,;0{,}5)$ et $B(10\,;1)$, et on admet que $(AB)$ est tangente à $\mathscr C_f$ en $A$. Lecture graphique : la courbe part de $0{,}5$ en croissant vers une asymptote horizontale proche de 1.

1. Donner une valeur approchée de $f(10)$ par lecture graphique.
2. On admet $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ : interpréter graphiquement.
3. Justifier que $a=1$.
4. Déterminer le coefficient directeur de $(AB)$.
5. a. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $x$ et $b$. b. En déduire $b$.

Partie B

On admet $f(x)=\dfrac1{1+e^{-0{,}2x}}$ sur $[0\,;+\infty[$.

1. Déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha\geqslant0$ tel que $f(\alpha)=0{,}97$.
4. À la calculatrice, encadrer $\alpha$ par deux entiers consécutifs et interpréter.

Partie C

1. Montrer que $f(x)=\dfrac{e^{0{,}2x}}{1+e^{0{,}2x}}$ pour $x\geqslant0$.
2. En déduire une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. Calculer $I=\dfrac1{40}\displaystyle\int_0^{40}\dfrac1{1+e^{-0{,}2x}}\,dx$ (valeur exacte, puis approchée au millième).

Exercice 3 — Dénombrement et probabilités : codage base64 (4 points)

Le codage base64 utilise 64 caractères : 26 majuscules, 26 minuscules, 10 chiffres, 2 caractères spéciaux. Les parties A, B, C sont indépendantes.

Partie A

On considère les séquences de 4 caractères en base64 (l'ordre compte, répétitions autorisées).

1. Combien y a-t-il de séquences possibles ?
2. Combien de séquences ont leurs 4 caractères deux à deux distincts ?
3. a. Combien ne comportent aucune lettre A majuscule ? b. En déduire combien comportent au moins une lettre A majuscule. c. Combien comportent exactement une lettre A majuscule ? d. Combien comportent exactement deux lettres A majuscule ?

Partie B

On transmet une séquence de 250 caractères ; chaque caractère a une probabilité $0{,}01$ d'être mal transmis, indépendamment des autres. $X$ compte le nombre de caractères mal transmis.

1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que tous les caractères soient bien transmis (valeur exacte, puis approchée à $10^{-3}$).
3. Que penser de l'affirmation « la probabilité que plus de 16 caractères soient mal transmis est négligeable » ?

Partie C

On transmet 4 séquences de 250 caractères ; $X_1,X_2,X_3,X_4$, indépendantes et de même loi que $X$, comptent les caractères mal transmis. Soit $S=X_1+X_2+X_3+X_4$. Déterminer, en justifiant, $E(S)$ et $V(S)$.

Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (4 points)

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$, on considère $A(1\,;0\,;3)$, $B(-2\,;1\,;2)$, $C(0\,;3\,;2)$.

1. a. Montrer que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés. b. Vérifier que $\vec n(-1\,;1\,;4)$ est orthogonal au plan $(ABC)$. c. En déduire que $(ABC)$ a pour équation cartésienne $-x+y+4z-11=0$.

On considère $\mathscr P\,:\ 3x-3y+2z-9=0$ et $\mathscr P'\,:\ x-y-z+2=0$.

2. a. Montrer que $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont sécants ; on note $(d)$ leur intersection. b. $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ sont-ils perpendiculaires ?
3. Montrer que $(d)$ est dirigée par $\vec u(1\,;1\,;0)$.
4. Montrer que $M(2\,;1\,;3)$ appartient à $\mathscr P$ et $\mathscr P'$ ; en déduire une représentation paramétrique de $(d)$.
5. Montrer que $(d)$ est aussi incluse dans $(ABC)$. Que peut-on en conclure sur les trois plans $(ABC)$, $\mathscr P$, $\mathscr P'$ ?