Bac Maths 2025 — Centres étrangers — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session des centres étrangers (sujet 1, jour 1), 12 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 6, 4, 6 et 4 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Contrôles aux caisses automatiques (6 points)

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.

Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service, où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification ; un employé du magasin effectue alors un contrôle.

Partie A

Le contrôle peut être :

• soit total : l'employé scanne à nouveau l'ensemble des articles du client ;
• soit partiel : l'employé choisit un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

Lorsqu'un contrôle total est déclenché, une erreur du client est détectée dans $30$ % des cas.

Lorsqu'un contrôle partiel est effectué, dans $85$ % des cas il n'y a pas d'erreur.

Un contrôle est déclenché à une caisse automatique. On considère les évènements suivants :

• $T$ : « le contrôle est un contrôle total » ;
• $E$ : « une erreur est détectée lors du contrôle ».

On note $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $T$ et $E$.

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation, puis déterminer $P\left(\overline{T} \cap E\right)$.

2. Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors d'un contrôle.

3. Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

Partie B

Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche $15$ contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p = 0{,}165$, et la détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement $5$ erreurs soient détectées. On donnera la valeur arrondie au centième.

3. Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.

4. On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse, de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99$ %.

Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.

Partie C

Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché $20$ contrôles. On note $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée.

On admet que les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune la loi binomiale $\mathcal{B}(20\,;0{,}165)$.

1. Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_1$.

2. On définit la variable aléatoire $S$ par $S = X_1 + X_2 + X_3$.

Justifier que $\mathrm{E}(S) = 9{,}9$ et que $\mathrm{V}(S) = 8{,}2665$.

Pour la suite de cette question, on utilisera $10$ comme valeur de $\mathrm{E}(S)$.

À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre $6$ et $14$ est supérieure à $0{,}48$.

Exercice 2 — QCM : géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Les quatre questions sont indépendantes.

Dans tout l'exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère :

• les points $\mathrm{A}(-3\,;1\,;4)$ et $\mathrm{B}(1\,;5\,;2)$ ;
• le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $4x + 4y - 2z + 3 = 0$ ;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est

1. Les droites $(\mathrm{AB})$ et $(d)$ sont :

a. sécantes non perpendiculaires — b. perpendiculaires — c. non coplanaires — d. parallèles.

2. La droite $(\mathrm{AB})$ est :

a. incluse dans le plan $\mathcal{P}$ — b. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$ — c. sécante et non orthogonale au plan $\mathcal{P}$ — d. orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

3. On considère le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $2x + y + 6z + 5 = 0$. Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont :

a. sécants et non perpendiculaires — b. perpendiculaires — c. confondus — d. strictement parallèles.

4. On considère le point $\mathrm{C}(0\,;1\,;-1)$. La valeur de l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ arrondie au degré est :

a. $90$° — b. $51$° — c. $39$° — d. $0$°.

Exercice 3 — Une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ (6 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1\,;+\infty[$ par

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-1\,;+\infty[$.

1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.

2. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1\,;+\infty[$,

3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1\,;+\infty[$, puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2\,;6{,}5]$.

4. On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[2\,;6{,}5]$ par $h(x) = f(x) - x$. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :

Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[2\,;6{,}5]$.

5. On considère le script suivant, écrit en langage Python :

from math import *
 
def f(x):
    return 4*log(1+x)-(x**2)/25
 
def bornes(n):
    p = 1/10**n
    x = 6
    while f(x)-x > 0:
        x = x + p
    return (x-p, x)

On rappelle qu'en langage Python, la commande log(x) renvoie la valeur $\ln x$, et que c**d renvoie la valeur de $c^{\,d}$.

a. Donner les valeurs renvoyées par la commande bornes(2). On donnera les valeurs arrondies au centième.

b. Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la partie A.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$.

3. On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la partie A, est la solution de l'équation $h(x) = 0$ sur l'intervalle $[2\,;6{,}5]$. Justifier que $\ell = \alpha$.

Exercice 4 — Croissance d'une population de bactéries (4 points)

Partie A

On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$ appartenant à l'intervalle $[0\,;+\infty[$.

1. On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$ par $h(t) = \dfrac{1}{120}$. Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E}_1)$.

2. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y' + 0{,}48\,y = 0$.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(\mathrm{E}_1)$.

Partie B

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À l'instant $t = 0$, on introduit une population initiale de $30\,000$ bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$ exprimé en heure. On a donc $p(0) = 30$.

On admet que la fonction $p$, définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$, est dérivable et strictement positive sur cet intervalle, et qu'elle est solution de l'équation différentielle

Soit $y$ la fonction strictement positive sur $[0\,;+\infty[$ telle que, pour tout $t$ de $[0\,;+\infty[$, on ait $p(t) = \dfrac{1}{y(t)}$.

1. Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E}_2)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $(\mathrm{E}_1)$.

2. On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de $(\mathrm{E}_1)$, alors $p = \dfrac{1}{y}$ est solution de $(\mathrm{E}_2)$. Montrer que, pour tout $t$ de l'intervalle $[0\,;+\infty[$,

3. En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.

4. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} p(t)$, et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse $60\,000$ individus. On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.