Bac Maths 2024 — Centres étrangers — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session des centres étrangers — Europe (sujet 2, jour 2), 6 juin 2024. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 5, 6, 5 et 4 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Trois jetons tirés avec remise (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$, indiscernables au toucher. À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac. Dans ce contexte, on appelle tirage la liste ordonnée des trois numéros obtenus : par exemple, si le joueur pioche le jeton $4$, puis le $5$, puis le $1$, le tirage correspondant est $(4\,;5\,;1)$.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles.

2. a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

On note $X_1$, $X_2$ et $X_3$ les variables aléatoires égales aux numéros des premier, deuxième et troisième jetons piochés. Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, ces variables sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X_1$.

On note $S = X_1 + X_2 + X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $S$.

6. Déterminer $P(S = 24)$.

7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, il gagne un lot.

a. Justifier qu'il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.

b. En déduire la probabilité de gagner un lot.

Exercice 2 — La fonction $x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x - 1}$ (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty\,;1[$ par

On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;1[$, et on appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.

b. En déduire une interprétation graphique.

2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

3. a. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\,;1[$,

b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;1[$.

4. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\,;1[$,

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;1[$.

b. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty\,;1[$,

5. a. Justifier que l'équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty\,;1[$.

b. À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Exercice 3 — Une aire obtenue grâce à un volume (5 points)

Le cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ a pour arête $1$ cm ; $\mathrm{ABCD}$ en est la face inférieure et $\mathrm{EFGH}$ la face supérieure, les sommets $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$ et $\mathrm{H}$ étant situés respectivement au-dessus de $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$. Le point $\mathrm{I}$ est le milieu du segment $[\mathrm{AB}]$, et le point $\mathrm{J}$ le milieu du segment $[\mathrm{CG}]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$.

1. Donner les coordonnées des points $\mathrm{I}$ et $\mathrm{J}$.

2. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{EJ}}$ est normal au plan $(\mathrm{FHI})$.

3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{FHI})$ est $-2x - 2y + z + 1 = 0$.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{EJ})$.

5. a. On note $\mathrm{K}$ le projeté orthogonal du point $\mathrm{E}$ sur le plan $(\mathrm{FHI})$. Calculer ses coordonnées.

b. Montrer que le volume de la pyramide $\mathrm{EFHI}$ est $\dfrac16$ cm³. On pourra utiliser le point $\mathrm{L}$, milieu du segment $[\mathrm{EF}]$ ; on admet que ce point est le projeté orthogonal du point $\mathrm{I}$ sur le plan $(\mathrm{EFH})$.

c. Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle $\mathrm{FHI}$.

Exercice 4 — Une suite qui converge vers le nombre d'or (4 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x + 1}$. On admet que cette fonction est dérivable sur cet intervalle.

1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$.

2. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0\,;+\infty[$,

3. En déduire que, sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$, l'équation $f(x) = x$ admet pour unique solution

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A. On admet que cette suite est bien définie.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

2. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

3. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell = \dfrac{1 + \sqrt5}{2}$.

4. On considère le script Python ci-dessous. On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de x.

from math import *
def seuil(n):
    u = 5
    i = 0
    l = (1 + sqrt(5))/2
    while abs(u - l) >= 10**(-n):
        u = sqrt(u + 1)
        i = i + 1
    return(i)

a. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).

b. La valeur renvoyée par seuil(4) est $9$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.