Bac Maths 2025 — Asie septembre — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session de remplacement d'Asie (sujet 1), 5 septembre 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 5 ; 5 ; 4,75 et 5,25 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Vrai ou faux : la fonction $x \mapsto x\,\mathrm{e}^{-2x}$ (5 points)

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = x\,\mathrm{e}^{-2x}.$$

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa dérivée. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé du plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1. Pour tout réel $x$, on a $f'(x) = (-2x + 1)\,\mathrm{e}^{-2x}$.

Affirmation 2. La fonction $f$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle

$$y' + 2y = \mathrm{e}^{-2x}.$$

Affirmation 3. La fonction $f$ est convexe sur $]-\infty\,;1]$.

Affirmation 4. L'équation $f(x) = -1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 5. L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à $\dfrac14 - \dfrac{3\,\mathrm{e}^{-2}}{4}$.

Exercice 2 — Une droite d'Euler dans un cube (5 points)

Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants :

• le centre du cercle circonscrit au triangle, c'est-à-dire du cercle passant par ses trois sommets ;
• le centre de gravité du triangle, situé à l'intersection de ses médianes ;
• l'orthocentre du triangle, situé à l'intersection de ses hauteurs.

Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.

On considère un cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ de côté une unité, dont $\mathrm{ABCD}$ est la face inférieure et $\mathrm{EFGH}$ la face supérieure, les sommets $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$ et $\mathrm{H}$ étant situés respectivement au-dessus de $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$.

On note $\mathrm{I}$ le milieu du segment $[\mathrm{AB}]$ et $\mathrm{J}$ le milieu du segment $[\mathrm{BG}]$.

1. Donner sans justification les coordonnées des points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{G}$, $\mathrm{I}$ et $\mathrm{J}$.

2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{AJ})$.

b. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{IG})$ est

$$\begin{cases} x = \dfrac12 + \dfrac12\,t \\[4pt] y = t \\[2pt] z = t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$$

c. Démontrer que les droites $(\mathrm{AJ})$ et $(\mathrm{IG})$ sont sécantes en un point $\mathrm{S}$ de coordonnées $\left(\dfrac23\,;\dfrac13\,;\dfrac13\right)$.

3. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(0\,;-1\,;1)$ est normal au plan $(\mathrm{ABG})$.

b. En déduire une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABG})$.

c. On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{n}$ passant par le point $\mathrm{K}\left(\dfrac12\,;0\,;1\right)$ est

$$\begin{cases} x = \dfrac12 \\[4pt] y = -t \\[2pt] z = 1 + t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$$

Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(\mathrm{ABG})$ en un point $\mathrm{L}$ de coordonnées $\left(\dfrac12\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$.

d. Montrer que le point $\mathrm{L}$ est équidistant des points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{G}$.

4. Montrer que le triangle $\mathrm{ABG}$ est rectangle en $\mathrm{B}$.

5. a. Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $\mathrm{ABG}$. Aucune justification n'est attendue.

b. Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.

Exercice 3 — Répondre au hasard à un QCM (4,75 points)

Dominique répond à un QCM comportant $10$ questions. Pour chaque question, $4$ réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Dominique répond au hasard à chacune des $10$ questions, en cochant pour chacune exactement une case parmi les $4$. Pour chaque question, la probabilité qu'il réponde correctement est donc $\dfrac14$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses à ce QCM.

1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$, et donner ses paramètres.

2. Quelle est la probabilité que Dominique obtienne exactement $5$ bonnes réponses ? Arrondir le résultat à $10^{-4}$ près.

3. Donner l'espérance de $X$, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. On suppose dans cette question qu'une bonne réponse rapporte $1$ point et qu'une mauvaise réponse fait perdre $0{,}5$ point. La note finale peut donc être négative. On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points obtenus.

a. Calculer $P(Y = 10)$ ; on donnera la valeur exacte du résultat.

b. À partir de combien de bonnes réponses la note finale de Dominique est-elle positive ? Justifier.

c. Calculer $P(Y \leqslant 0)$ ; on donnera une valeur approchée au centième.

d. Montrer que $Y = 1{,}5\,X - 5$.

e. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.

Exercice 4 — Une suite de probabilités (5,25 points)

Soit $n$ un entier naturel non nul. Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_n$, et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$.

Pour les parties A et B de l'exercice, on considère que :

• si l'évènement $A_n$ est réalisé, alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0{,}3$ ;
• si l'évènement $A_n$ n'est pas réalisé, alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0{,}7$.

On suppose que $p_1 = 1$.

Partie A

1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre suivant. L'arbre part du nœud $A_1$ (réalisé, puisque $p_1 = 1$), d'où sortent deux branches menant à $A_2$ et à $\overline{A_2}$ ; seule la branche menant à $\overline{A_2}$ porte déjà sa probabilité, $0{,}7$. De chacun des nœuds $A_2$ et $\overline{A_2}$ sortent ensuite deux branches menant à $A_3$ et à $\overline{A_3}$, sans probabilité indiquée.

2. Montrer que $p_3 = 0{,}58$.

3. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_3}\left(A_2\right)$, arrondie à $10^{-2}$ près.

Partie B

Dans cette partie, on étudie la suite $(p_n)$ pour $n \geqslant 1$.

1. Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre suivant. L'arbre part d'un nœud initial d'où sortent deux branches menant à $A_n$ et à $\overline{A_n}$ ; seule la branche menant à $A_n$ porte déjà sa probabilité, $p_n$. De chacun de ces nœuds sortent ensuite deux branches menant à $A_{n+1}$ et à $\overline{A_{n+1}}$, sans probabilité indiquée.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$p_{n+1} = -0{,}4\,p_n + 0{,}7.$$

On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par $u_n = p_n - 0{,}5$.

b. Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.

c. En déduire l'expression de $u_n$, puis celle de $p_n$, en fonction de $n$.

d. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

Partie C

Soit $x \in \left]0\,;1\right[$. On suppose désormais que

$$P_{\overline{A_n}}\left(A_{n+1}\right) = P_{A_n}\left(\overline{A_{n+1}}\right) = x,$$

et on rappelle que $p_1 = 1$.

1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = (1 - 2x)\,p_n + x$.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

$$p_n = \dfrac12\,(1 - 2x)^{n-1} + \dfrac12.$$

3. Montrer que la suite $(p_n)$ est convergente, et donner sa limite.