Bac Maths 2025 — Asie — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Asie (sujet 2, jour 2), 12 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Fiabilité d'un test de dépistage (5 points)

Dans cet exercice, toutes les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$, sauf indication contraire.

Le chikungunya est une maladie virale transmise à l'homme par la piqûre du moustique tigre ; elle provoque des douleurs articulaires aiguës parfois persistantes. Une importante épidémie a touché l'île de La Réunion en 2005, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés ; la maladie est ensuite apparue en Europe en 2007, puis aux Antilles et sur le continent américain en 2014.

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire qui le fabrique fournit les caractéristiques suivantes :

• la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de $0{,}999$ ;
• la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de $0{,}005$.

On procède à un dépistage systématique dans une population cible, et on choisit au hasard un individu de cette population. On note :

• $M$ l'évènement « l'individu choisi est atteint du chikungunya » ;
• $T$ l'évènement « le test de l'individu choisi est positif ».

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à $0{,}95$.

Partie A : étude d'un exemple

1. Donner les probabilités $P_M(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$.

Au cours de l'épidémie de 2005 à La Réunion, $270\,000$ personnes ont été infectées, pour une population totale de $750\,000$ individus. Fin 2005, le laboratoire a effectué un dépistage massif de cette population : dans cette partie, la population cible est donc la population de l'île de La Réunion.

2. Donner la valeur exacte de $P(M)$.

3. Recopier et compléter l'arbre pondéré de la situation. Cet arbre part d'un nœud initial duquel sortent deux branches, menant respectivement à $M$ et à $\overline{M}$ ; de chacun de ces deux nœuds sortent à leur tour deux branches, menant à $T$ et à $\overline{T}$. Les six probabilités portées par ces branches sont à compléter.

4. Calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.

5. Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.

6. Calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.

7. Peut-on estimer que ce test est fiable ? Argumenter.

Partie B : dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible. On cherche à tester la fiabilité du test de ce laboratoire en fonction de $p$.

1. Recopier, en l'adaptant, l'arbre pondéré de la question A. 3 en tenant compte de cette nouvelle donnée.

2. Exprimer la probabilité $P(T)$ en fonction de $p$.

3. Montrer que $P_T(M) = \dfrac{999\,p}{994\,p + 5}$.

4. Pour quelles valeurs de $p$ peut-on considérer que ce test est fiable ?

Partie C : étude sur un échantillon

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'île de La Réunion est de $0{,}36$.

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'individus infectés dans cet échantillon. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}36$.

Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'évènement « au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus » est supérieure à $0{,}99$. Expliquer la démarche.

Exercice 2 — Deux suites imbriquées (5 points)

Partie A

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 30$ et, pour tout entier naturel $n$,

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 20$.

1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.

2. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.

3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

5. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Justifier la réponse.

Partie B

Soit $(w_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par

1. Montrer que $w_1 = 44{,}5$.

On souhaite écrire une fonction suite en langage Python, qui renvoie la valeur du terme $w_n$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction.

def suite(n):
    U = 30
    W = 45
    for i in range(1, n+1):
        U = U/2 + 10
        W = W/2 + U/2 + 7
    return W

2. L'exécution de suite(1) ne renvoie pas le terme $w_1$. Comment modifier la fonction suite afin que l'exécution de suite(n) renvoie la valeur du terme $w_n$ ?

3. a. Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$,

b. On admet que, pour tout entier naturel $n \geqslant 4$,

Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(w_n)$ ?

Exercice 3 — Vrai ou faux : géométrie dans l'espace (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère :

• les points $\mathrm{C}(3\,;0\,;0)$, $\mathrm{D}(0\,;2\,;0)$, $\mathrm{H}(-6\,;2\,;2)$ et $\mathrm{J}\left(-\dfrac{54}{13}\,;\dfrac{62}{13}\,;0\right)$ ;
• le plan $P$ d'équation cartésienne $2x + 3y + 6z - 6 = 0$ ;
• le plan $P'$ d'équation cartésienne $x - 2y + 3z - 3 = 0$ ;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : la droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en $\mathrm{H}$.

Affirmation 2 : la mesure en degré de l'angle $\widehat{\mathrm{DCH}}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17{,}3$°.

Affirmation 3 : les plans $P$ et $P'$ sont sécants, et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est

Affirmation 4 : le point $\mathrm{J}$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{H}$ sur la droite $(\mathrm{CD})$.

Exercice 4 — Température d'une réaction chimique (5 points)

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température de cette réaction en fonction du temps ; l'objectif de cet exercice est d'étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius, le temps en minute, et on se place dans tout l'exercice sur l'intervalle de temps $[0\,;10]$.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans un repère orthogonal du plan, on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction température en fonction du temps sur l'intervalle $[0\,;10]$.

1. Déterminer, par lecture graphique, au bout de combien de temps la température redescend à sa valeur initiale à l'instant $t = 0$.

On appelle $f$ la fonction température représentée par cette courbe. On précise que $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;10]$, et on admet qu'elle peut s'écrire sous la forme

où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles.

2. On admet que la valeur exacte de $f(0)$ est $40$. En déduire la valeur de $b$.

3. On admet que $f$ vérifie l'équation différentielle

Déterminer la valeur de $a$.

Partie B : étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\,;10]$, par

1. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\,;10]$,

2. a. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;10]$, puis dresser son tableau de variations en y faisant figurer les images des valeurs qui y apparaissent.

b. Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive sur l'intervalle $]0\,;10]$.

c. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième près, et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

3. On définit la température moyenne, exprimée en degré Celsius, de cette réaction chimique entre deux temps $t_1$ et $t_2$ exprimés en minute, par

a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

b. En déduire une valeur approchée, au degré Celsius près, de la température moyenne de cette réaction chimique au cours des $4$ premières minutes.