Bac Maths 2025 — Asie — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Asie (sujet 1, jour 1), 11 juin 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Vrai ou faux : géométrie dans l'espace (5 points)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère :

• $\alpha$ un réel quelconque ;
• les points $\mathrm{A}(1\,;1\,;0)$, $\mathrm{B}(2\,;1\,;0)$ et $\mathrm{C}(\alpha\,;3\,;\alpha)$ ;
• la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1 : pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ définissent un plan, et un vecteur normal à ce plan est $\vec{\jmath}$ de coordonnées $(0\,;1\,;0)$.

Affirmation 2 : il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(\mathrm{AC})$ et $(d)$ soient parallèles.

Affirmation 3 : une mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{OAB}}$ est $135$°.

Affirmation 4 : le projeté orthogonal du point $\mathrm{A}$ sur la droite $(d)$ est le point $\mathrm{H}(1\,;2\,;2)$.

Affirmation 5 : la sphère de centre $\mathrm{O}$ et de rayon $1$ rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.

Exercice 2 — Contrôles de conformité de jouets (5 points)

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. On s'intéresse ici à deux tests : un test de fabrication et un test de sécurité.

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que :

• $95$ % des jouets réussissent le test de fabrication ;
• parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, $98$ % réussissent le test de sécurité ;
• $1$ % des jouets ne réussissent aucun des deux tests.

On choisit au hasard un jouet parmi ceux produits, et on note :

• $F$ l'évènement « le jouet réussit le test de fabrication » ;
• $S$ l'évènement « le jouet réussit le test de sécurité ».

Partie A

1. À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.

2. a. Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.

b. Montrer que $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0{,}2$.

3. Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.

4. Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut $0{,}97$, arrondie au centième.

5. Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication ? Donner une valeur approchée au centième.

Partie B

On prélève au hasard dans la production un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. Ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication vaut $0{,}95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}95$.

1. Exprimer l'espérance et la variance de $S_n$ en fonction de $n$.

2. Dans cette question, on pose $n = 150$.

a. Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

b. Déterminer la probabilité qu'au moins $94$ % des jouets de ce lot réussissent le test de fabrication. Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

3. Dans cette question, l'entier $n$ n'est plus fixé. Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par $F_n = \dfrac{S_n}{n}$, qui représente la proportion des jouets réussissant le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets.

a. Montrer que $\mathrm{E}(F_n) = 0{,}95$ et que $\mathrm{V}(F_n) = \dfrac{0{,}0475}{n}$.

b. On s'intéresse à l'évènement $I$ : « la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre $93$ % et $97$ % ».

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur de $n$ à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0{,}96$.

Exercice 3 — Prises successives d'un médicament (5 points)

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$ mL d'un médicament. On introduit la suite $(u_n)$ telle que $u_n$ représente la quantité de médicament, en millilitres, présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises.

On a $u_1 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

Partie A

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises la quantité présente dans l'organisme dépasse strictement $9$ mL.

1. Calculer la valeur $u_2$.

2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n$ et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Soit $N$ un entier naturel strictement positif. L'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer à partir de combien de prises la quantité de médicament présente dans l'organisme dépasse strictement $9$ mL. Justifier la démarche.

Partie B

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme au cours du temps. On définit pour cela la suite $(S_n)$, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, par

On admet que la suite $(S_n)$ est croissante.

1. Calculer $S_2$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

3. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$.

4. On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python. Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie mystere(9) ?

def mystere(k):
    n = 1
    s = 2
    while s < k:
        n = n + 1
        s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n
    return n

5. Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.

Exercice 4 — Une fonction avec racine carrée (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par

et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. On définit la fonction $g$ sur $]0\,;+\infty[$ par $g(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.

a. Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de $]0\,;+\infty[$.

b. Pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que

2. a. Déterminer la limite de $f$ en $0$.

b. Interpréter graphiquement ce résultat.

3. a. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

b. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ et dresser son tableau de variations, en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.

c. Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1\,;+\infty[$, et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.

4. On pose $I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\,\mathrm{d}x$.

a. Calculer $I$.

b. Interpréter graphiquement le résultat.

5. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et que

a. En posant $X = \sqrt{x}$, montrer que $x - 3\sqrt{x} + 3 \gt 0$ pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$.

b. Étudier la convexité de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.