Bac Maths 2024 — Asie — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Asie (sujet 1, jour 1), 10 juin 2024. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Des courbes à la piste de trottinette (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;+\infty[$, représentée par la courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous. La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $\dfrac52$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;5]$.

2. Que semble présenter la courbe $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{A}$ ?

3. La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les deux courbes ci-dessous. Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Ce choix sera justifié.

4. La courbe $\mathcal{C}_3$ ci-dessous peut-elle être la représentation graphique, sur $[0\,;+\infty[$, d'une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0\,;+\infty[$, est donnée par

On note $f'$ et $f''$ sa dérivée et sa dérivée seconde.

1. Étude de la fonction $f$.

a. Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)\,\mathrm{e}^{-x+1}$.

b. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0\,;+\infty[$. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

c. Étudier la convexité de la fonction $f$, et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de sa courbe représentative.

2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $F(x) = (ax + b)\,\mathrm{e}^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

a. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0\,;+\infty[$.

b. On admet que $F(x) = (-4x - 2)\,\mathrm{e}^{-x+1}$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$. En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale

3. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle. Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac32\,;8\right]$, l'unité de longueur étant le mètre. Le point de départ $\mathrm{D}$ est le point de la courbe d'abscisse $\dfrac32$.

a. Donner une valeur approchée au centimètre près de la hauteur du point de départ $\mathrm{D}$.

b. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ $75$ % de la surface du mur. Sachant qu'une bombe aérosol de $150$ mL permet de couvrir une surface de $0{,}8$ m², déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

Exercice 2 — Une pyramide à base trapézoïdale (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$ d'unité $1$ cm, on considère les points

On souhaite montrer que $\mathrm{SABDC}$ est une pyramide de sommet $\mathrm{S}$, à base $\mathrm{ABDC}$ trapézoïdale, afin de calculer son volume. La figure de l'énoncé représente cette pyramide en perspective.

1. Montrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ ne sont pas alignés.

2. a. Montrer que les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ sont coplanaires.

b. Montrer que le quadrilatère $\mathrm{ABDC}$ est un trapèze de bases $[\mathrm{AB}]$ et $[\mathrm{CD}]$. On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles, appelés bases.

3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2\,;1\,;2)$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ABC})$.

b. En déduire une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $\mathrm{S}$ et orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$.

d. On note $\mathrm{I}$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(\mathrm{ABC})$. Montrer que $\mathrm{I}$ a pour coordonnées $\left(\dfrac23\,;\dfrac13\,;\dfrac83\right)$, puis montrer que $\mathrm{SI} = 2$ cm.

4. a. Vérifier que le projeté orthogonal $\mathrm{H}$ du point $\mathrm{B}$ sur la droite $(\mathrm{CD})$ a pour coordonnées $(3\,;3\,;-1)$, et montrer que $\mathrm{HB} = 3\sqrt2$ cm.

b. Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze $\mathrm{ABDC}$. On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par $\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h$, où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases et $h$ la hauteur.

5. Déterminer le volume de la pyramide $\mathrm{SABDC}$. On rappelle que le volume d'une pyramide est $V = \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.

Exercice 3 — Dépistage de la COVID-19 (5 points)

Dans la revue Lancet Public Health, des chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, $5{,}7$ % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID-19. On se servira de cette donnée pour les parties A et B.

Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020, et on note $I$ l'évènement « l'adulte a déjà été infecté par la COVID-19 ». Quelle est la probabilité que cet individu ait déjà été infecté ?

2. On prélève un échantillon de $100$ personnes de cette population, supposées choisies de façon indépendante les unes des autres ; on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.

a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, dont on donnera les paramètres.

b. Calculer son espérance. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.

c. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucune personne infectée dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

d. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins $2$ personnes infectées dans l'échantillon ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

e. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \gt 0{,}9$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Un test permet de déterminer, même longtemps après l'infection, si une personne a déjà été infectée par la COVID-19 : un test positif signifie que la personne a déjà été infectée. Deux paramètres caractérisent ce test :

• sa sensibilité, probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée (vrai positif) ;
• sa spécificité, probabilité qu'il soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée (vrai négatif).

Le fabricant indique une sensibilité de $0{,}8$ et une spécificité de $0{,}99$. On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020, et on note $T$ l'évènement « le test réalisé est positif ».

1. Compléter l'arbre de probabilités avec les données de l'énoncé. Cet arbre part d'un nœud initial d'où sortent deux branches, menant à $I$ et à $\overline{I}$ ; de chacun de ces nœuds sortent deux branches, menant à $T$ et à $\overline{T}$. Aucune probabilité n'est indiquée.

2. Montrer que $P(T) = 0{,}055\,03$.

3. Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Partie C

On considère un groupe d'une population d'un autre pays, soumis au même test, de sensibilité $0{,}8$ et de spécificité $0{,}99$. Dans ce groupe, la proportion d'individus ayant un test positif est de $29{,}44$ %.

On choisit au hasard un individu de ce groupe : quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?

Exercice 4 — Vrai ou faux : suites (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

1. Affirmation 1 : toute suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$.

2. On considère une suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ telle que, pour tout entier $n$, $u_n \leqslant \dfrac{-9^n + 3^n}{7^n}$.

Affirmation 2 : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.

3. On considère la fonction suivante, écrite en langage Python.

def terme(N):
    U = 1
    for i in range(N):
        U = U + i
    return U

Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur $7$.

4. Lors d'un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :

• prix A : il reçoit $1\,000$ euros par jour pendant $15$ jours ;
• prix B : il reçoit $1$ euro le premier jour, $2$ euros le deuxième jour, $4$ euros le troisième jour et, pendant $15$ jours, la somme reçue double chaque jour.

Affirmation 4 : la valeur du prix A est plus élevée que celle du prix B.

5. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier $n \geqslant 1$, par $v_n = \displaystyle\int_1^n \ln(x)\,\mathrm{d}x$.

Affirmation 5 : la suite $(v_n)$ est croissante.