Bac Maths 2026 — Antilles-Guyane — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session des Antilles-Guyane (sujet 2, jour 2), 17 juin 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Transmission d'un message le long d'une chaîne de relais (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.

Un réseau de communication est formé d'une succession de relais — satellites, antennes, opérateurs — qui se transmettent les messages de proche en proche. À chaque passage d'un relais au suivant, des erreurs peuvent apparaître.

Une étude statistique conduit à retenir, pour chaque relais, les deux règles suivantes :

• un message reçu sans erreur est retransmis sans erreur au relais suivant avec une probabilité de $0{,}94$ ;
• un message reçu avec des erreurs voit celles-ci corrigées, et est donc retransmis sans erreur, avec une probabilité de $0{,}35$.

On prélève au hasard un message parmi ceux envoyés au cours d'une journée. Pour un évènement $E$ quelconque, $\overline{E}$ désigne son évènement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

Partie A

On considère les deux évènements suivants :

• $A_1$ : « le message reçu par le premier relais ne comporte pas d'erreur » ;
• $A_2$ : « le message reçu par le deuxième relais ne comporte pas d'erreur ».

On admet que $P(A_1) = 0{,}96$.

L'énoncé fournit un arbre pondéré à compléter. Sa racine se sépare en deux branches menant à $A_1$ et à $\overline{A_1}$ ; chacun de ces deux nœuds se sépare à son tour en deux branches menant à $A_2$ et à $\overline{A_2}$. Les six probabilités portées par les branches sont laissées en pointillés.

1. Reproduire cet arbre pondéré et le compléter.

2. Établir que $P(A_2) = 0{,}9164$.

3. Calculer $P_{A_2}\left(\overline{A_1}\right)$, arrondi à $10^{-4}$, puis interpréter ce nombre dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Afin de contrôler le bon fonctionnement d'un relais, on lui fait subir des tests indépendants les uns des autres. Un test est déclaré positif dès qu'il détecte au moins une erreur. On admet qu'un test est positif avec une probabilité de $0{,}04$.

On prélève au hasard un échantillon de $50$ tests effectués sur ce relais. Le nombre total de tests réalisés est assez grand pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

1. On note $X$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $50$ tests, associe le nombre de tests positifs qu'il contient. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}04$.

a. Déterminer la probabilité que l'échantillon contienne exactement $4$ tests positifs. On arrondira à $10^{-2}$.

b. Donner la probabilité que l'échantillon contienne au moins un test positif. On arrondira à $10^{-2}$.

c. Calculer l'espérance et la variance de $X$.

2. On s'intéresse maintenant à une chaîne de transmission formée de $25$ relais. Pour le relais numéro $1$, on note $X_1$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de $50$ tests, associe le nombre de tests positifs ; on définit de même $X_2$ pour le relais $2$, et ainsi de suite jusqu'à $X_{25}$ pour le relais $25$.

On admet que ces $25$ variables aléatoires sont indépendantes, qu'elles ont toutes pour espérance $2$ et toutes pour variance $1{,}92$.

On note $M$ la variable aléatoire donnant le nombre moyen de tests positifs relevés sur les $25$ relais, c'est-à-dire

a. Vérifier que $\mathrm{E}(M) = 2$, puis établir que $\mathrm{V}(M) = 0{,}0768$.

b. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que ce nombre moyen de tests positifs soit strictement inférieur à $7$ dépasse $0{,}99$.

Indication : on pourra utiliser sans justification l'égalité $P(M \lt 7) = P(-3 \lt M \lt 7)$.

Partie C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère cette fois une chaîne de transmission formée de $n$ relais, et l'évènement $A_n$ : « le message reçu par le $n$-ième relais ne comporte pas d'erreur ».

On pose $p_n = P(A_n)$, de sorte que $p_1 = 0{,}96$. On admet que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1} \leqslant p_n$.

2. Démontrer que la suite $(p_n)$ converge.

3. Déterminer la valeur exacte de sa limite.

Exercice 2 — Un module d'escalade en forme de tétraèdre (5 points)

Une salle d'escalade fait fabriquer un nouveau module, destiné à être posé au sol et à créer des plans inclinés. Ce module a la forme d'un tétraèdre.

L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine $\mathrm{A}$, noté $\left(\mathrm{A}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. L'unité de longueur est le mètre.

On considère les trois points

et l'on modélise le module par le tétraèdre $\mathrm{ABCD}$. L'énoncé en donne une représentation en perspective : la face $\mathrm{ABC}$ repose sur le plan horizontal, le sommet $\mathrm{D}$ est au-dessus, le point $\mathrm{H}$ se projette sous $\mathrm{D}$ dans le plan de base, et une droite $\Delta$ traverse le solide pour rejoindre le plan de base en un point $\mathrm{L}$ situé à l'extérieur du triangle $\mathrm{ABC}$. Toutes les informations nécessaires aux calculs figurent dans les coordonnées ci-dessus et dans les questions.

On souhaite analyser ce module, pour des raisons de fabrication et de sécurité.

Partie A

1. L'énoncé représente le triangle $\mathrm{ABC}$ ainsi que la hauteur issue de $\mathrm{C}$, qui coupe le côté $[\mathrm{AB}]$ perpendiculairement.

a. Démontrer que le triangle $\mathrm{ABC}$ est isocèle en $\mathrm{C}$.

b. Démontrer que l'aire du triangle $\mathrm{ABC}$ vaut $6{,}75$ m².

2. a. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{ABC})$ est $z = 0$.

b. Démontrer que le point $\mathrm{H}\left(\dfrac{3}{2}\,;1\,;0\right)$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{D}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$.

3. On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h$, où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base. En déduire le volume du module.

Partie B

1. On considère le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(4\,;3\,;3)$.

a. Démontrer que $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{BCD})$.

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{BCD})$ est

c. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(\mathrm{BCD})$ et passant par $\mathrm{D}$.

2. On admet que la droite $\Delta$ et le plan $(\mathrm{ABC})$ sont sécants et on note $\mathrm{L}$ leur point d'intersection. Démontrer que $\mathrm{L}$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{5}{2}\,;-2\,;0\right)$.

3. Le module est jugé adapté aux débutants lorsque l'angle $\widehat{\mathrm{LDH}}$ est strictement inférieur à $60$°. Démontrer que ce module est adapté aux débutants.

Exercice 3 — Vrai ou faux (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

a. On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$. On note $f$ la solution de $(E_1)$ vérifiant $f(0) = 1$.

Affirmation 1 : la courbe représentative de $f$ passe par le point $\mathrm{A}$ de coordonnées $\left(\ln 2\,;\dfrac{1}{2}\right)$.

b. On considère la fonction $f$ définie sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$ par

Affirmation 2 : sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, la courbe représentative de $f$ est située au-dessus de chacune de ses tangentes.

c. On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par

Affirmation 3 : la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$.

2. On considère l'équation différentielle

où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

Affirmation 4 : la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - \mathrm{e}^{3x}$ est une solution de $(E_2)$.

Exercice 4 — Une famille de fonctions (5 points)

Soit $k$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f_k$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On note $\mathcal{C}_k$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que $f_k$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$ ; on note $f_k'$ sa dérivée et $f_k''$ sa dérivée seconde.

Partie A : étude d'un premier cas particulier

Dans cette partie, $k = 2$. La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée ci-dessous. Le point $\mathrm{A}$ en est un point d'inflexion, et $T_2$ désigne la tangente à $\mathcal{C}_2$ en $\mathrm{A}$.

1. Soit $F_2$ une primitive de $f_2$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec la précision que permet le graphique, donner les variations de $F_2$ sur l'intervalle $]0\,;3]$.

2. Parmi les trois courbes décrites ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier.

Les trois courbes sont tracées dans une même fenêtre, dont l'axe des abscisses va de $-0{,}3$ à $3{,}6$ et l'axe des ordonnées de $-1{,}6$ à $2{,}4$.

• Courbe 1 — tracée pour $x$ allant de $0{,}5$ à $3{,}6$. Elle entre dans la fenêtre par le haut, descend rapidement, coupe l'axe des abscisses un peu avant $x = 0{,}8$, atteint un minimum d'ordonnée voisine de $-1{,}4$ pour $x$ proche de $1{,}6$, puis remonte lentement en restant au-dessous de la droite d'équation $y = -1$, dont elle se rapproche.
• Courbe 2 — tracée pour $x$ allant de $0{,}9$ à $3{,}6$. Elle entre dans la fenêtre par le bas, monte très vite, coupe l'axe des abscisses aux alentours de $x = 1{,}65$, puis reste juste au-dessus de cet axe : elle atteint un maximum très peu marqué, d'ordonnée voisine de $0{,}1$, avant de redescendre lentement vers l'axe.
• Courbe 3 — tracée pour $x$ allant de $0{,}5$ à $3{,}6$. Elle part du bas de la fenêtre, à l'ordonnée $-1{,}6$, croît régulièrement, coupe l'axe des abscisses vers $x = 2{,}5$ et poursuit sa montée jusqu'à l'ordonnée $0{,}35$ environ à l'extrémité droite de la fenêtre.

Partie B : étude d'un second cas particulier

Dans cette partie, $k = 1$. La fonction $f_1$ est donc définie sur $]0\,;+\infty[$ par

1. a. Démontrer que, pour tout réel $x \gt 0$,

b. Déterminer la limite de $f_1'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.

2. On admet les deux résultats suivants :

• l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f_1'$ ;
• pour tout réel $x \gt 0$, $f_1''(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x^3}$.

Le tableau de variations de $f_1'$ sur $]0\,;+\infty[$ est le suivant.

a. Justifier les variations de $f_1'$ sur $]0\,;+\infty[$ ainsi que la valeur de son extremum.

b. Justifier la limite de $f_1'$ en $0$.

c. Démontrer que l'équation $f_1'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$. En déduire que $f_1$ admet un maximum sur cet intervalle.

d. Recopier et compléter les pointillés du programme Python ci-dessous pour qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$.

def d(x) :
    return -1-ln(x)/x**2
 
def alpha() :
    u = 0.5
    while d(u) ... 0 :
        u = ...
    return u

On rappelle que x**2 désigne $x^2$.

Partie C : cas général

On considère la fonction $h$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $h(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}$, ainsi que la fonction $H$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}(1 + \ln x)^2$. On admet que $H$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

1. Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $]0\,;+\infty[$.

On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_k$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f_k(x) = 1 - x + \dfrac{k(1 + \ln x)}{x}$.

2. Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de $f_k$ sur l'intervalle $[1\,;\mathrm{e}]$ est nulle ? Justifier.