Bac Maths 2025 — Amérique du Sud — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Sud (jour 2), 14 novembre 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 6, 4, 4 et 6 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Service au tennis et balles conformes (6 points)

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin. Les deux parties sont indépendantes l'une de l'autre.

Partie A

Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans $70$ % des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans $80$ % des cas. En revanche, après un échec à son premier service, il gagne le point dans $45$ % des cas.

Abel est au service. On considère les évènements :

• $S$ : « Abel réussit son premier service » ;
• $G$ : « Abel gagne le point ».

1. Décrire l'évènement $\overline{S}$, puis traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(S \cap G)$.

3. Justifier que la probabilité de l'évènement $G$ est égale à $0{,}695$.

4. Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?

5. Les évènements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans $85$ % des cas.

1. On teste successivement $20$ balles. Le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les $20$ testées.

a. Quelle est la loi suivie par $X$, et quels sont ses paramètres ? Justifier.

b. Calculer $P(X \leqslant 18)$.

c. Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles parmi les $20$ testées ne soient pas conformes ?

d. Déterminer l'espérance de $X$.

2. On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère ces $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X_1, X_2, \ldots, X_n$ indépendantes, suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}85$, et on considère la variable aléatoire

a. Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.

b. Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,

c. En déduire un entier $n$ tel que la proportion de balles conformes dans un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $]0{,}75\,;0{,}95[$ avec une probabilité supérieure à $0{,}9$.

Exercice 2 — QCM : géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte ; aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse, multiple ou absente ne rapporte ni n'enlève de point.

Dans toutes les questions, l'espace est rapporté à un repère orthonormé.

1. On considère les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ de représentations paramétriques respectives

a. Les droites $\Delta_1$ et $\Delta_2$ sont parallèles. — b. Elles sont orthogonales. — c. Elles sont sécantes.

2. On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 3 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}$ $(t \in \mathbb{R})$, et le plan $P$ d'équation cartésienne $4x + 2y - z + 3 = 0$.

a. La droite $d$ est incluse dans le plan $P$. — b. Elle est strictement parallèle au plan $P$. — c. Elle est sécante au plan $P$.

3. On considère les points $\mathrm{A}(3\,;2\,;1)$, $\mathrm{B}(7\,;3\,;1)$, $\mathrm{C}(-1\,;4\,;5)$ et $\mathrm{D}(-3\,;3\,;5)$.

a. Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$ ne sont pas coplanaires. — b. Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ sont alignés. — c. Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ sont colinéaires.

4. On considère les plans $Q$ et $Q'$ d'équations cartésiennes respectives $3x - 2y + z + 1 = 0$ et $4x + y - z + 3 = 0$.

a. Le point $\mathrm{R}(1\,;1\,;-2)$ appartient aux deux plans.

b. Les deux plans sont orthogonaux.

c. Les deux plans sont sécants, et leur intersection est la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x = t \\ y = 7t + 4 \\ z = 11t + 7 \end{cases}$ $(t \in \mathbb{R})$.

Exercice 3 — Une suite, un tableur et un script (4 points)

On considère les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par

On admet que la suite $(v_n)$ est bien définie et strictement positive.

1. Donner les valeurs exactes de $v_1$ et de $w_0$.

2. a. Une partie d'une feuille de calcul, où figurent les indices et les termes des suites $(v_n)$ et $(w_n)$, est reproduite ci-dessous.

Parmi les trois formules ci-dessous, choisir celle qui, saisie dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir les valeurs de la suite $(v_n)$ dans la colonne B.

b. Conjecturer le sens de variation de la suite $(v_n)$.

c. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider la conjecture concernant le sens de variation de la suite $(v_n)$.

3. a. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = \ln\left(1 + 3 \times 2^{n}\right)$.

c. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

4. Justifier que l'algorithme suivant, écrit en langage Python, renvoie un résultat quelle que soit la valeur choisie pour le nombre S.

from math import *
 
def seuil(S):
    V = ln(4)
    n = 0
    while V < S:
        n = n+1
        V = ln(2*exp(V) - 1)
    return(n)

Exercice 4 — Des couples d'entiers à une étude de fonction (6 points)

Partie A : dénombrement

On considère l'ensemble des entiers relatifs non nuls compris entre $-30$ et $30$ : $\lbrace -30\,;-29\,;\ldots\,;-1\,;1\,;\ldots\,;29\,;30 \rbrace$. Il comporte $60$ éléments.

On choisit dans cet ensemble, successivement et sans remise, un entier relatif $a$ puis un entier relatif $c$.

1. Combien de couples $(a\,;c)$ différents peut-on ainsi obtenir ?

On considère l'évènement $M$ : « l'équation $ax^2 + 2x + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes », où $a$ et $c$ sont les entiers relatifs précédemment choisis.

2. Montrer que l'évènement $M$ est réalisé si et seulement si $ac \lt 1$.

3. Expliquer pourquoi l'évènement contraire $\overline{M}$ comporte $1\,740$ issues.

4. Quelle est la probabilité de l'évènement $M$ ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B : équation différentielle

On considère l'équation différentielle

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' + 10y = 0$.

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée. Justifier que $f$ est une solution particulière de $(\mathrm{E})$.

3. Donner l'expression de toutes les solutions de $(\mathrm{E})$.

Partie C : étude de fonction

On étudie dans cette partie la fonction $f$ de la question B. 2, définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \left(6x^2 + 2x - 2\right)\mathrm{e}^{-5x + 1}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. On admet que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.

2. En utilisant la partie A, montrer que $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points. Les coordonnées de ces points ne sont pas attendues.

3. En utilisant les parties A et B, montrer que $\mathcal{C}_f$ possède deux tangentes horizontales.

4. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.

5. Déterminer, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$.

6. Pour tout réel $m$ strictement supérieur à $0{,}2$, on pose $I_m = \displaystyle\int_{0,2}^{m} f(x)\,\mathrm{d}x$.

a. Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par

est une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

b. Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $I_m = 0$ ? Interpréter graphiquement ce résultat.