Bac Maths 2025 — Amérique du Sud — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Sud (jour 1), 13 novembre 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 4, 5, 6 et 5 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Plat végétarien ou non (4 points)

Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire, qui propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0{,}9$.
• Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0{,}7$.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on note $V_n$ l'évènement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n$-ième jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$. Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien : on a donc $p_1 = 1$.

1. a. Indiquer la valeur de $p_2$.

b. Montrer que $p_3 = 0{,}88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

c. Sachant que le troisième jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

2. Recopier et compléter l'arbre pondéré de la situation. Cet arbre part d'un nœud initial d'où sortent deux branches, menant à $V_n$ et à $\overline{V_n}$ ; seule la branche menant à $V_n$ porte déjà sa probabilité, $p_n$. De chacun de ces nœuds sortent ensuite deux branches menant à $V_{n+1}$ et à $\overline{V_{n+1}}$, sans probabilité indiquée.

3. Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0{,}2\,p_n + 0{,}7$.

4. On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $(p_n)$, pour $n \geqslant 1$. On utilise pour cela une fonction repas écrite en langage Python, dont on propose trois versions.

Programme 1

def repas(n):
    p = 1
    L = [p]
    for k in range(1, n):
        p = 0.2*p + 0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 2

def repas(n):
    p = 1
    L = [p]
    for k in range(1, n+1):
        p = 0.2*p + 0.7
        L.append(p)
    return(L)

Programme 3

def repas(n):
    p = 1
    L = [p]
    for k in range(1, n):
        p = 0.2*p + 0.7
        L.append(p+1)
    return(L)

a. Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $(p_n)$ ? Aucune justification n'est attendue.

b. Avec le programme choisi à la question a., donner le résultat affiché pour $n = 5$.

5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

6. En déduire la limite de la suite $(p_n)$.

Exercice 2 — Vrai ou faux : dénombrement et probabilités (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. À la fin d'un match, deux équipes de footballeurs, de $22$ et $25$ joueurs, échangent des poignées de main : chaque joueur d'une équipe serre une seule fois la main de chaque joueur de l'autre équipe.

Affirmation 1 : $47$ poignées de main ont été échangées.

2. Une course oppose $18$ concurrents. On récompense indistinctement les trois premiers, en offrant le même prix à chacun.

Affirmation 2 : il y a $4\,896$ possibilités de distribuer ces prix.

3. Une association organise une compétition de course de haies qui établira un podium, constitué des trois meilleurs sportifs classés dans leur ordre d'arrivée. Sept sportifs participent ; Jacques est l'un d'eux.

Affirmation 3 : il y a $90$ podiums différents dont Jacques fait partie.

4. Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires de même loi, donnée par le tableau ci-dessous.

On suppose que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes, et on note $Y$ la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

Affirmation 4 : $P(Y = 4) = 0{,}25$.

5. Un nageur s'entraîne pour parcourir le $50$ mètres nage libre en moins de $25$ secondes. Au fil des entraînements, la probabilité qu'il y parvienne s'établit à $0{,}85$. Il effectue sur une journée $20$ parcours chronométrés de $50$ mètres, et l'on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il nage cette distance en moins de $25$ secondes. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}85$.

Affirmation 5 : sachant qu'il a atteint au moins $15$ fois son objectif, une valeur approchée à $10^{-3}$ de la probabilité qu'il l'ait atteint au moins $18$ fois est $0{,}434$.

Exercice 3 — Concentration d'un médicament dans le sang (6 points)

On étudie la concentration dans le sang d'un médicament ingéré par une personne pour la première fois. On note $t$ le temps, en heure, écoulé depuis l'ingestion. On admet que la concentration du médicament dans le sang, en gramme par litre de sang, est modélisée par une fonction $f$ de la variable $t$ définie sur $[0\,;+\infty[$.

Partie A : lectures graphiques

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction $f$.

Avec la précision permise par le graphique, donner sans justification :

1. le temps écoulé entre l'ingestion du médicament et l'instant où sa concentration dans le sang est maximale, selon ce modèle ;

2. l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(t) \geqslant 1$ ;

3. la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;8]$.

Partie B : détermination de la fonction $f$

On considère l'équation différentielle

d'inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$. On admet que la fonction $f$ est une solution de $(\mathrm{E})$.

1. Résoudre l'équation différentielle $(\mathrm{E}') \ : \ y' + y = 0$.

2. Soit $u$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $u(t) = a\,t\,\mathrm{e}^{-t}$, avec $a \in \mathbb{R}$. Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de $(\mathrm{E})$.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(\mathrm{E})$.

4. La personne n'ayant pas pris ce médicament auparavant, on admet que $f(0) = 0$. Déterminer l'expression de la fonction $f$.

Partie C : étude de la fonction $f$

Dans cette partie, on admet que $f$ est définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}$.

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

2. Étudier les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$, puis dresser son tableau de variations complet.

3. Démontrer qu'il existe deux réels $t_1$ et $t_2$ tels que $f(t_1) = f(t_2) = 1$. On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ des réels $t_1$ et $t_2$.

4. Pour une concentration du médicament supérieure ou égale à $1$ gramme par litre de sang, il y a un risque de somnolence. Quelle est la durée, en heures et minutes, du risque de somnolence lors de la prise de ce médicament ?

Partie D : concentration moyenne

La concentration moyenne du médicament, en gramme par litre de sang, durant la première heure, est donnée par

où $f$ est la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(t) = 5t\,\mathrm{e}^{-t}$.

Calculer cette concentration moyenne. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $0{,}01$ près.

Exercice 4 — Orthocentre et projeté orthogonal (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$. On considère les points

Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ sont situés sur les trois axes du repère ; le point $\mathrm{K}$ est dans le plan $(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, et la figure de l'énoncé trace le triangle $\mathrm{ABC}$ et le segment $[\mathrm{CK}]$.

1. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{CK})$ est

2. Soit $\mathrm{M}(t)$ le point de la droite $(\mathrm{CK})$ de paramètre $t$. Établir que

3. Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = \mathrm{OM}(t)$.

a. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

b. En déduire la valeur de $t$ pour laquelle $f$ atteint son minimum.

4. En déduire que le point $\mathrm{H}\left(\dfrac{\sqrt3}{8}\,;\dfrac38\,;\dfrac34\right)$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{O}$ sur la droite $(\mathrm{CK})$.

5. Démontrer, à l'aide du produit scalaire, que le point $\mathrm{H}$ est l'orthocentre du triangle $\mathrm{ABC}$, c'est-à-dire le point d'intersection de ses hauteurs.

6. a. Démontrer que la droite $(\mathrm{OH})$ est orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$.

b. En déduire une équation du plan $(\mathrm{ABC})$.

7. Calculer, en unités d'aire, l'aire du triangle $\mathrm{ABC}$.