Bac Maths 2026 — Amérique du Nord — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord (sujet 1, jour 1), 20 mai 2026. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles, loi binomiale et espérance (6 points)

Une plateforme de diffusion musicale propose trois types d'abonnements : « Étudiant », « Classique » et « Famille ». Elle propose également une option « Écoute hors-ligne », qui permet de télécharger de la musique et que l'on peut activer pour n'importe quel type d'abonnement.

Une étude statistique menée sur les abonnés a permis d'établir que :

• 25 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Étudiant » et 15 % ont choisi l'abonnement « Famille » ;
• 45 % des abonnés « Étudiant » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
• 30 % des abonnés « Classique » ont activé l'option « Écoute hors-ligne » ;
• 12 % des abonnés ont choisi l'abonnement « Famille » et ont activé l'option « Écoute hors-ligne ».

On prélève au hasard le profil d'un abonné et on considère les événements suivants : $E$ « l'abonné a choisi l'abonnement Étudiant », $C$ « l'abonné a choisi l'abonnement Classique », $F$ « l'abonné a choisi l'abonnement Famille », et $H$ « l'abonné a activé l'option Écoute hors-ligne », d'événement contraire $\overline H$.

Partie A

On modélise la situation par un arbre pondéré à deux niveaux : à la racine, trois branches menant aux événements $F$, $C$ et $E$ ; puis, à partir de chacun de ces trois nœuds, deux branches menant aux événements $H$ et $\overline H$. Toutes les probabilités portées par cet arbre sont à déterminer à partir des données ci-dessus.

1. Représenter (ou décrire) cet arbre pondéré complet, en indiquant la valeur de chacune des six probabilités qu'il porte.
2. Calculer la valeur exacte de $P(E\cap H)$.
3. Démontrer que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$.
4. Un abonné a activé l'option « Écoute hors-ligne ». Déterminer la probabilité qu'il ait choisi l'abonnement « Étudiant ». On arrondira le résultat au millième.

Partie B

On choisit huit abonnés de cette plateforme, au hasard et de manière indépendante ; on considère qu'il y a suffisamment d'abonnés pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On rappelle que la probabilité qu'un abonné ait activé l'option « Écoute hors-ligne » est de $0{,}4125$. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre, parmi ces huit abonnés, de ceux ayant activé l'option « Écoute hors-ligne ».

1. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité qu'aucun de ces huit abonnés n'ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». On arrondira le résultat au millième.
3. Dans cette question, $n$ désigne un entier naturel non nul. On s'intéresse à un échantillon de $n$ abonnés, assimilé à un tirage avec remise, et on note $q_n$ la probabilité qu'au moins un abonné de cet échantillon ait activé l'option « Écoute hors-ligne ». a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $q_n = 1-0{,}5875^{\,n}$. b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \geqslant 99{,}9\,\%$.

Partie C

La plateforme propose les tarifs mensuels suivants : abonnement « Étudiant » : 5 € par mois ; « Classique » : 10 € par mois ; « Famille » : 16 € par mois ; option « Écoute hors-ligne » : 2 € de plus par mois, quel que soit l'abonnement choisi. On note $Y$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné.

1. Donner les six valeurs possibles prises par la variable aléatoire $Y$.
2. Dresser le tableau décrivant la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.
3. Démontrer que l'espérance mathématique de $Y$ vaut $10{,}475$, et interpréter ce résultat dans le contexte.
4. À l'aide de la calculatrice, donner la variance de $Y$, arrondie au centième.
5. Une plateforme vidéo propose les mêmes types d'abonnements. On note $Z$ la variable aléatoire égale au montant payé mensuellement par un abonné à cette plateforme vidéo. On admet que l'espérance de $Z$ vaut $9$ et que son écart-type vaut $2$. a. Calculer la variance de $Z$. b. Un responsable affirme que, si on interroge un abonné de cette plateforme vidéo au hasard, il y a au moins $50\,\%$ de chances pour que le prix de son abonnement soit strictement compris entre 6 et 12 euros. Justifier cette affirmation.

Exercice 2 — Suite, fonction et équation différentielle (4 points)

La perche-soleil est une espèce de poisson envahissante. Un plan de lutte contre sa prolifération est mis en place, et on étudie dans cet exercice deux modèles d'évolution de la population de perches-soleil dans un étang naturel. On estime que, dans cet étang, le nombre de perches-soleil s'élève à 4 000 individus au 1er janvier 2025.

Partie A — étude d'un modèle discret

On modélise le nombre de perches-soleil dans l'étang par une suite $(u_n)$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de perches-soleil, exprimé en milliers, dans l'étang au 1er janvier de l'année $2025+n$. La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=4-\dfrac4{u_n}$. On admet que cette suite est bien définie et qu'en particulier, pour tout entier $n$, $u_n>0$.

1. Calculer le nombre de perches-soleil au 1er janvier 2026 donné par ce modèle.
2. On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $h(x)=4-\dfrac4x$. a. Justifier que la fonction $h$ est croissante sur $]0;+\infty[$. b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 4$. c. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. d. Justifier que $\ell=2$. e. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?
3. On considère le script Python ci-dessous, où $s$ désigne un réel appartenant à l'intervalle $]2;4[$.

def population(s):
    u = ...
    n = ...
    while ... :
        u = ...
        n = ...
    return n

a. Recopier et compléter ce script de sorte qu'il renvoie, après exécution, le plus petit entier $n$ tel que $u_n<s$. b. Quelle valeur renvoie la commande population(2.2) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B — étude d'un modèle continu

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en année, à partir du 1er janvier 2025. L'évolution du nombre de perches-soleil, exprimé en milliers, est modélisée par une fonction $p$ telle que : $p$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$ ; $p(0)=4$ ; et $p$ est solution de l'équation différentielle $(E)\ :\ y'+y=2$, où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
2. En déduire que l'expression de la fonction $p$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$ est $p(t)=2e^{-t}+2$.
3. Ce modèle prévoit-il une élimination à long terme de l'espèce envahissante ?

Exercice 3 — Géométrie dans l'espace : produit scalaire, plans et volumes (5 points)

Dans cet exercice, l'unité est le centimètre. On considère une pyramide à base carrée SABCD, munie du repère orthonormé $(O\,;\vec{OI},\vec{OJ},\vec{OK})$, où $O$ est le centre du carré $ABCD$, $I$ le milieu de $[CD]$, $J$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[OS]$. On donne $AB=BC=CD=DA=OS=2$ cm. On admet que, dans ce repère, $B(-1\,;1\,;0)$, $C(1\,;1\,;0)$ et $S(0\,;0\,;2)$ : le sommet $S$ de la pyramide est donc situé à la verticale du centre $O$ de la base, à une hauteur de 2 cm.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Donner les coordonnées des points $A$ et $D$.
2. Calculer le produit scalaire $\vec{SC}\cdot\vec{SB}$.
3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BSC}$, arrondie au dixième de degré.

Partie B

On se propose dans cette partie de déterminer la distance du point $O$ au plan $(SBC)$.

1. Soit $\vec n$ le vecteur de coordonnées $(0\,;2\,;1)$. a. Justifier que le vecteur $\vec n$ est normal au plan $(SBC)$. b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(SBC)$ est $2y+z-2=0$.
2. On note $H$ le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(SBC)$. a. Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(OH)$ est $x=0$, $y=2t$, $z=t$, avec $t\in\mathbb R$. b. Calculer les coordonnées du point $H$. c. En déduire que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt5}5$ cm.

Partie C

On se propose ici de retrouver le résultat de la partie B par une autre méthode.

1. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$. a. Calculer le volume de la pyramide SABCD. b. En déduire que le volume de la pyramide OCBS est égal à $\dfrac23$ cm$^3$.
2. Déterminer l'aire du triangle SBC.
3. Déduire des questions précédentes que la distance du point $O$ au plan $(SBC)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt5}5$ cm.

Exercice 4 — Fonction logarithme : limites, convexité et tangente (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=5\ln(x^2+1)-3x$, et on admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$. On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

Le sujet fournit un graphique de $\mathcal C_f$, avec sa tangente au point d'abscisse 1, décrit ici : dans la fenêtre $x\in[-6{,}5\,;6{,}9]$, $y\in[-2{,}7\,;6{,}1]$ (graduations unitaires sur les deux axes), la courbe entre dans le cadre par le haut aux alentours de $x\approx-0{,}95$ — pour $x$ plus négatif, $f(x)$ dépasse déjà $6$ et sort du cadre par le haut —, puis redescend, passe par un minimum local visible proche de $x=\frac13$ (valeur environ $-0{,}47$), remonte jusqu'à un maximum local visible en $x=3$ (valeur environ $2{,}51$), puis redescend en sortant du cadre par la droite. Le point $A$ d'abscisse 1 (coordonnées environ $(1\,;0{,}466)$) est marqué sur la courbe, avec sa tangente en $A$ tracée en trait plein ; cette tangente semble traverser la courbe au voisinage de $A$, ce qui suggère un changement de concavité isolé à cet endroit.

1. À l'aide de cette représentation graphique, conjecturer les intervalles de $\mathbb R$ sur lesquels la fonction $f$ semble convexe, respectivement concave.
2. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
3. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel strictement positif, $f(x)=x\left(10\dfrac{\ln x}x-3\right)+5\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)$. b. Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
4. a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, $f'(x)=\dfrac{-3x^2+10x-3}{x^2+1}$. b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$.
5. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R$ et que, pour tout réel $x$, $f''(x)=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}$. a. Valider ou rejeter la conjecture faite à la question 1. b. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$ d'abscisse 1. c. En déduire que, pour tout $x\geqslant1$, $\ln(x^2+1)\leqslant x+\ln2-1$.