Bac Maths 2025 — Amérique du Nord — Sujet 2 de secours

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord, sujet de secours du jour 2, 22 mai 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Une courbe et son asymptote oblique (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x} + 2x - 1.$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, et on note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde, c'est-à-dire la dérivée de $f'$.

Partie A : étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

2. Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.

3. Montrer que, pour tout réel $x$,

$$f''(x) = (x - 2)\,\mathrm{e}^{-x}.$$

4. Étudier la convexité de la fonction $f$.

5. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis dresser son tableau de variations en y faisant apparaître la valeur exacte de l'extremum. Les limites de $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

6. En déduire le signe de la fonction $f'$ sur $\mathbb{R}$, puis justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

7. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$. Donner un encadrement de $\alpha$ au centième près.

8. On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = 2x - 1$. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$.

Partie B : calcul d'aire

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère le domaine $D_n$ délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$. On note

$$I_n = \int_1^n x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x.$$

1. À l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_n$ en fonction de $n$.

2. a. Justifier que l'aire du domaine $D_n$ est égale à $I_n$.

b. Calculer la limite de l'aire du domaine $D_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Exercice 2 — Vrai ou faux : géométrie dans l'espace (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

L'espace est muni d'un repère $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$, que l'on suppose orthonormé.

Le texte officiel dit seulement « un repère » ; mais plusieurs affirmations portent sur l'orthogonalité ou sur un projeté orthogonal, ce qui n'a de sens que dans un repère orthonormé.

On considère la droite $\mathrm{D}$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = 3 - t \\[2pt] y = -2 + 3t \\[2pt] z = 1 + 4t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R},$$

et le plan $P$ d'équation cartésienne $2x - 3y + z - 6 = 0$.

1. Affirmation : la droite $\mathrm{D}'$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = 2 + 2t \\[2pt] y = 4 - 6t \\[2pt] z = 9 - 8t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}$$

est parallèle à la droite $\mathrm{D}$.

2. On admet que les points $\mathrm{A}(-2\,;3\,;1)$, $\mathrm{B}(1\,;3\,;-4)$ et $\mathrm{C}(6\,;3\,;9)$ ne sont pas alignés.

Affirmation : la droite $\mathrm{D}$ est orthogonale au plan défini par les trois points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$.

3. Affirmation : la droite $\mathrm{D}$ est sécante avec la droite $\Delta$ de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = -4 + 2t' \\[2pt] y = 1 - 3t' \\[2pt] z = 2 + t' \end{cases} \qquad t' \in \mathbb{R}.$$

4. Affirmation : le point $\mathrm{F}(-3\,;-3\,;3)$ est le projeté orthogonal du point $\mathrm{E}(-5\,;0\,;2)$ sur le plan $P$.

5. Affirmation : il existe exactement une valeur du paramètre réel $a$ telle que le plan $P'$ d'équation $-3x + y - a^2 z + 3 = 0$ soit parallèle à la droite $\mathrm{D}$.

Exercice 3 — Vaccination et contamination (5 points)

Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2$ % de la population d'un pays. Dans ce pays, $90$ % de la population a été vaccinée contre ce virus. On constate que $62$ % des personnes contaminées avaient été vaccinées.

On interroge une personne au hasard, et on note les évènements :

• $C$ : « la personne a été contaminée » ;
• $V$ : « la personne a été vaccinée ».

Les évènements contraires de $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

1. À partir de l'énoncé, donner sans calcul les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.

2. a. Calculer $P(C \cap V)$.

b. En déduire $P\left(\overline{C} \cap V\right)$.

3. Recopier et compléter l'arbre de probabilités de la situation. Cet arbre part d'un nœud initial duquel sortent deux branches, menant à $C$ et à $\overline{C}$ ; de chacun de ces nœuds sortent à leur tour deux branches, menant à $V$ et à $\overline{V}$. Aucune des six probabilités n'est donnée.

4. Calculer $P_V(C)$, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse.

a. « Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées. »

b. « Plus de $98$ % de la population vaccinée n'a pas été contaminée. »

6. On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population. Celle-ci est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes contaminées dans cet échantillon. On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est $p = 0{,}02$.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier, et donner ses paramètres.

b. Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que exactement $4$ personnes de ce groupe de $20$ soient contaminées.

Exercice 4 — Une suite définie par deux termes précédents (5 points)

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

$$\begin{cases} u_0 = 0 \\[2pt] u_1 = \dfrac12 \\[6pt] u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac14\,u_n \end{cases}$$

Partie A : conjecture

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

2. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B : étude d'une suite auxiliaire

Soit $(w_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par

$$w_n = u_{n+1} - \dfrac12\,u_n.$$

1. Calculer $w_0$.

2. Démontrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.

3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.

4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = \left(\dfrac12\right)^{n+1} + \dfrac12\,u_n.$$

5. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,

$$u_n = n\left(\dfrac12\right)^{n}.$$

Partie C : étude de la suite $(u_n)$

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$.

2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente, sans chercher à calculer la valeur de sa limite.

3. On admet que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ est solution de l'équation $\ell = \ell - \dfrac14\,\ell$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.