Bac Maths 2025 — Amérique du Nord — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord (sujet 2, jour 2), 22 mai 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants de 5 points chacun, 20 points au total.

Exercice 1 — Paniers à trois points (5 points)

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraîneur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entraînement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0{,}32$.

Lors d'un entraînement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants. On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

1. On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

2. Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement $4$ paniers lors de cette série.

3. Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus $6$ paniers lors de cette série.

4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$.

5. On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.

a. Exprimer $T$ en fonction de $N$.

b. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$. Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.

c. Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match. On admet que $\mathrm{E}(X) = 22$ et $\mathrm{V}(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un entier strictement positif. On note $X_1, X_2, \ldots, X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \ldots, n$-ième matchs. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent toutes la même loi que $X$.

On pose

1. Dans cette question, on prend $n = 50$.

a. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

b. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.

c. Démontrer que $P\left(\left|M_{50} - 22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$.

d. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19 \lt M_{50} \lt 25$ » est strictement supérieure à $0{,}85$.

2. Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\left(\left|M_n - 22\right| \geqslant 3\right) \lt 0{,}01$. »

Exercice 2 — La méthode de Briggs pour approcher $\ln 2$ (5 points)

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs (1561-1630), l'un des premiers auteurs de tables de logarithmes.

On désigne par $(u_n)$ la suite définie par

Partie A

1. a. Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$.

b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.

b. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

c. Résoudre dans l'intervalle $[0\,;+\infty[$ l'équation $\sqrt{x} = x$.

d. Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$.

Partie B

On désigne par $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln\left(u_n\right)$.

1. a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$.

b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.

c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

2. On a tracé ci-dessous, dans un repère orthonormé, la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à cette courbe au point d'abscisse $1$. Une équation de la droite $T$ est $y = x - 1$.

Les points $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{A}_1$ et $\mathrm{A}_2$ ont pour abscisses respectives $u_0 = 2$, $u_1 \approx 1{,}414$ et $u_2 \approx 1{,}189$, et pour ordonnée $0$ : ils se rapprochent visiblement de $1$, là où la courbe et sa tangente se confondent presque.

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0{,}99\,;1{,}01[$.

a. Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $]0{,}99\,;1{,}01[$, et donner une valeur approchée de $u_k$ à $10^{-5}$ près.

b. En déduire une approximation de $\ln\left(u_k\right)$.

c. Déduire des questions 1. c. et 2. b. de la partie B une approximation de $\ln(2)$.

3. On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à $1$. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln(a)$.

On rappelle que l'instruction sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$.

from math import *
 
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L = ...
    return L

Exercice 3 — Vrai ou faux : vecteurs et géométrie analytique (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Partie A

$\mathrm{ABCDEFGH}$ est un cube d'arête de longueur $1$, dont $\mathrm{ABCD}$ est la face inférieure et $\mathrm{EFGH}$ la face supérieure, les sommets $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$ et $\mathrm{H}$ étant situés respectivement au-dessus de $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$.

Les points $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$, $\mathrm{L}$ et $\mathrm{M}$ sont les milieux respectifs des arêtes $[\mathrm{AB}]$, $[\mathrm{BF}]$, $[\mathrm{AE}]$, $[\mathrm{CD}]$ et $[\mathrm{DH}]$.

Affirmation 1 : $\overrightarrow{\mathrm{JH}} = 2\overrightarrow{\mathrm{BI}} + \overrightarrow{\mathrm{DM}} - \overrightarrow{\mathrm{CB}}$.

Affirmation 2 : le triplet de vecteurs $\left(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AH}},\ \overrightarrow{\mathrm{AG}}\right)$ est une base de l'espace.

Affirmation 3 : $\overrightarrow{\mathrm{IB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{LM}} = -\dfrac14$.

Partie B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

• le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$ ;
• les points $\mathrm{A}(2\,;0\,;-1)$ et $\mathrm{B}(5\,;-3\,;7)$.

Affirmation 4 : le plan $\mathcal{P}$ et la droite $(\mathrm{AB})$ sont parallèles.

Affirmation 5 : le plan $\mathcal{P}'$ parallèle à $\mathcal{P}$ passant par $\mathrm{B}$ a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$.

Affirmation 6 : la distance du point $\mathrm{A}$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$.

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

Affirmation 7 : les droites $(\mathrm{AB})$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires.

Exercice 4 — La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{x}\sin(x)$ (5 points)

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\pi]$ par

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

Partie A

1. a. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\pi]$,

b. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

2. a. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

b. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $\ \mathrm{e}^{x}\sin(x) \geqslant x$.

3. Justifier que le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

Partie B

On note

1. En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes :

2. En déduire que $I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

3. On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans un même repère orthogonal sur l'intervalle $[0\,;\pi]$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ part de l'origine, s'élève jusqu'à un maximum puis redescend couper l'axe des abscisses en $\pi$, tandis que $\mathcal{C}_g$ est la droite d'équation $y = x$ ; sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $\mathcal{C}_g$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré, situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \dfrac{\pi}{2}$.