Bac Maths 2025 — Amérique du Nord — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord (sujet 1, jour 1), 21 mai 2025. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, 20 points au total.

Exercice 1 — Probabilités conditionnelles et loi binomiale (6 points)

Les connexions à distance des employés d'une entreprise transitent au hasard par l'un de trois serveurs A, B ou C : 25 % des connexions passent par A, 15 % par B, le reste (60 %) par C. Une connexion est dite stable si l'utilisateur ne subit aucune déconnexion après identification. L'équipe de maintenance a observé que, en fonctionnement normal, 90 % des connexions via A sont stables, 80 % de celles via B, et 85 % de celles via C.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On choisit une connexion au hasard. On note $A$, $B$, $C$ les événements « la connexion transite par le serveur A / B / C » et $S$ l'événement « la connexion est stable », d'événement contraire $\overline S$.

1. Représenter un arbre pondéré modélisant la situation.
2. Montrer que la probabilité que la connexion soit stable et passe par le serveur B vaut $0{,}12$.
3. Calculer $P\left(C\cap\overline S\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. Montrer que $P(S)=0{,}855$.
5. Sachant que la connexion est stable, calculer la probabilité qu'elle ait transité par le serveur B (arrondir au millième).

Partie B

D'après la partie A, la probabilité qu'une connexion soit instable vaut $0{,}145$.

1. On observe un échantillon de 50 connexions, assimilé à un tirage avec remise. Soit $X$ le nombre de connexions instables dans cet échantillon. a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres. b. Donner $P(X\leqslant8)$, arrondie au millième.
2. On considère maintenant un échantillon de $n$ connexions ($n$ entier naturel non nul), $X_n$ le nombre de connexions instables, qui suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,;0{,}145)$. a. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ qu'au moins une connexion de l'échantillon soit instable. b. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p_n\geqslant0{,}99$.
3. Soit $F_n=\dfrac{X_n}n$ la fréquence de connexions instables dans un échantillon de taille $n$. a. Calculer $E(F_n)$. On admet que $V(F_n)=\dfrac{0{,}123975}n$. b. Vérifier que $P\left(|F_n-0{,}145|\geqslant0{,}1\right)\leqslant\dfrac{12{,}5}n$. c. Un responsable observe un échantillon de 1000 connexions avec $F_{1000}=0{,}3$ et soupçonne un dysfonctionnement des serveurs. A-t-il raison ?

Exercice 2 — Suite définie par récurrence (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+2}$ (on admet qu'elle est bien définie).

1. Calculer $u_1$.
2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $a_n=\dfrac{u_n}{u_n-1}$ (on admet que cette suite est bien définie). a. Calculer $a_0$ et $a_1$. b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=3a_n-1$. c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, $a_n\geqslant3n-1$. d. En déduire la limite de la suite $(a_n)$.
3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{a_n}{a_n-1}$. b. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
4. On admet que $(u_n)$ est décroissante. On considère la fonction Python suivante :

def algo(p):
    u = 2
    n = 0
    while u - 1 > p:
        u = (2 * u + 1) / (u + 2)
        n = n + 1
    return (n, u)

a. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, les valeurs n et u renvoyées par l'appel algo(p). b. Donner, sans justifier, la valeur de n renvoyée par algo(0.001).

Exercice 3 — Vrai/Faux, géométrie dans l'espace (4 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$. On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases}x=3-2t\\y=-1\\z=2-6t\end{cases}$, $t\in\mathbb R$, les points $A(3\,;-3\,;-2)$ et $B(5\,;-4\,;-1)$, le point $C$ de $(d)$ d'abscisse 2, et $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $\mathscr P$ d'équation $x+3z-7=0$.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant (une affirmation non justifiée ne rapporte aucun point).

Affirmation 1. La droite $(d)$ et l'axe des ordonnées ne sont pas coplanaires.

Affirmation 2. Le plan passant par $A$ et orthogonal à $(d)$ a pour équation cartésienne $x+3z+3=0$.

Affirmation 3. Une mesure en radian de l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est $\dfrac\pi6$.

Affirmation 4. $BH=\dfrac{\sqrt{10}}2$.

Exercice 4 — Fonction exponentielle et équation différentielle (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$ de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$, l'une étant la fonction dérivée de l'autre (notées $g$ et $g'$). $\mathscr C_1$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;1)$ ; $\mathscr C_2$ coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;2)$ et l'axe des abscisses en $(-2\,;0)$ et $(1\,;0)$. Lecture graphique : $\mathscr C_1$ décroît puis croît puis décroît, avec un minimum local vers $x=-2$ et un maximum local vers $x=1$ ; $\mathscr C_2$ est négative avant $-2$ et après $1$, positive entre les deux.

1. En justifiant à partir des variations lues sur les courbes, associer $g$ et $g'$ à $\mathscr C_1$ et $\mathscr C_2$.
2. Justifier que la tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=2x+1$.

Partie B

On considère l'équation différentielle $(E)\,:\ y+y'=(2x+3)e^{-x}$.

1. Montrer que $f_0(x)=(x^2+3x)e^{-x}$ est une solution particulière de $(E)$.
2. Résoudre $(E_0)\,:\ y+y'=0$.
3. Donner l'ensemble des solutions de $(E)$.
4. On admet que $g$ (partie A) est solution de $(E)$. En déduire son expression.
5. Déterminer les solutions de $(E)$ dont la courbe admet exactement deux points d'inflexion.

Partie C

Soit $f(x)=(x^2+3x+2)e^{-x}$ définie sur $\mathbb R$.

1. Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$ (on admet que $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$).
2. a. Vérifier que $f'(x)=(-x^2-x+1)e^{-x}$. b. Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
3. Justifier que $f$ est positive sur $[0\,;+\infty[$.
4. On admet que $F(x)=(-x^2-5x-7)e^{-x}$ est une primitive de $f$. Pour $\alpha\geqslant0$, déterminer l'aire $\mathscr A(\alpha)$ (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de $f$, et les droites d'équations $x=0$ et $x=\alpha$.