Bac Maths 2024 — Amérique du Nord — Sujet 2

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord (sujet 2, jour 2), 22 mai 2024. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 5, 5, 6 et 4 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Les véhicules hybrides rechargeables (5 points)

Les données publiées le 1ᵉʳ mars 2023 par le ministère de la Transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• $22{,}86$ % des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• $8{,}08$ % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
• $1{,}27$ % des véhicules d'occasion (c'est-à-dire non neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :

• $N$ l'évènement « le véhicule est neuf » ;
• $R$ l'évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires de $N$ et $R$.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0{,}028\,3$.

4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf, sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie B

Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. On admet désormais que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$, et on assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.

3. Déterminer la probabilité $P(X \geqslant 325)$, puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ est un entier naturel strictement positif. On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0{,}65$, et on assimile ce choix à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.

2. On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \geqslant 0{,}999\,9$.

Exercice 2 — Un plan dans un pavé droit (5 points)

On considère le pavé droit $\mathrm{ABCDEFGH}$ tel que $\mathrm{AB} = 3$ et $\mathrm{AD} = \mathrm{AE} = 1$, dont $\mathrm{ABCD}$ est la face inférieure et $\mathrm{EFGH}$ la face supérieure, les sommets $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$ et $\mathrm{H}$ étant situés respectivement au-dessus de $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ et $\mathrm{D}$.

On considère le point $\mathrm{I}$ du segment $[\mathrm{AB}]$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = 3\,\overrightarrow{\mathrm{AI}}$, et on appelle $\mathrm{M}$ le milieu du segment $[\mathrm{CD}]$. On se place dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{A}\,;\overrightarrow{\mathrm{AI}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)$.

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points $\mathrm{F}$, $\mathrm{H}$ et $\mathrm{M}$.

2. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(2\,;6\,;3)$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{HMF})$.

b. En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(\mathrm{HMF})$ est $2x + 6y + 3z - 9 = 0$.

c. Le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan $(\mathrm{HMF})$ ? Justifier la réponse.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{DG})$.

4. On appelle $\mathrm{N}$ le point d'intersection de la droite $(\mathrm{DG})$ avec le plan $(\mathrm{HMF})$. Déterminer les coordonnées du point $\mathrm{N}$.

5. Le point $\mathrm{R}\left(3\,;\dfrac14\,;\dfrac12\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $\mathrm{G}$ sur le plan $(\mathrm{HMF})$ ? Justifier la réponse.

Exercice 3 — Une suite qui tend très vite vers 1 (6 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,;1]$ par

1. Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0\,;1]$, et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \dfrac12$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.

2. Calculer $u_1$ et $u_2$.

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \lt u_n \lt u_{n+1} \lt 1$.

4. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

5. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln\left(1 - u_n\right)$.

6. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $2$, et préciser son premier terme.

7. En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.

8. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$, et retrouver la limite déterminée à la question 5.

9. Recopier et compléter le script Python ci-dessous, afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0{,}95$.

def seuil():
    n = 0
    u = 0.5
    while u < 0.95:
        n = ...
        u = ...
    return n

Exercice 4 — Une aire et une tangente pour $a\ln(x)$ (4 points)

Soit $a$ un réel strictement positif. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par

et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

1. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.

2. Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left[x\ln(x) - x\right]$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

3. En déduire l'aire du domaine bleuté, en fonction de $a$ et de $x_0$. Ce domaine est délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = x_0$ ; on note $\mathrm{M}$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_0$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $\mathrm{M}$ d'abscisse $x_0$. On appelle $\mathrm{A}$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées, et $\mathrm{B}$ le projeté orthogonal de $\mathrm{M}$ sur l'axe des ordonnées.

4. Démontrer que la longueur $\mathrm{AB}$ est égale à une constante, c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$, que l'on déterminera. Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.