Bac Maths 2024 — Amérique du Nord — Sujet 1

Sujet officiel du baccalauréat général, épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques, session d'Amérique du Nord (jour 1), 21 mai 2024. Durée 4 heures, calculatrice autorisée. 4 exercices indépendants, notés respectivement 5, 4, 5 et 6 points, soit 20 points au total.

Exercice 1 — Objets rares dans un jeu vidéo (5 points)

Un jeu vidéo récompense les joueurs qui ont remporté un défi par un objet tiré au sort. L'objet tiré peut être « commun » ou « rare » ; dans chaque catégorie, deux types d'objets sont disponibles, des épées et des boucliers. Les concepteurs du jeu ont prévu que :

• la probabilité de tirer un objet rare est de $7$ % ;
• si l'on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de $80$ % ;
• si l'on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de $40$ %.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire un objet au sort. On note :

• $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
• $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;
• $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires de $R$ et $E$.

1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.

2. Calculer la probabilité de tirer une épée.

3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares qu'il obtient après avoir remporté ces $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.

2. Déterminer $P(X \lt 6)$. Arrondir le résultat au millième.

3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0{,}5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Les développeurs veulent proposer aux joueurs d'acheter un « ticket d'or », qui permet de tirer $N$ objets ; la probabilité de tirer un objet rare reste de $7$ %. Ils aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0{,}95$.

Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.

Exercice 2 — QCM : géométrie dans l'espace (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte ; aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Les quatre questions sont indépendantes.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)$.

1. On considère les points $\mathrm{A}(1\,;0\,;3)$ et $\mathrm{B}(4\,;1\,;0)$. Une représentation paramétrique de la droite $(\mathrm{AB})$ est, avec $t \in \mathbb{R}$ :

• a. $\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = -3 + 3t \end{cases}$ — b. $\begin{cases} x = 1 + 4t \\ y = t \\ z = 3 \end{cases}$ — c. $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = 3 - 3t \end{cases}$ — d. $\begin{cases} x = 4 + t \\ y = 1 \\ z = 3 - 3t \end{cases}$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = 3 + 4t \\ y = 6t \\ z = 4 - 2t \end{cases}$, avec $t \in \mathbb{R}$.

2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?

a. $\mathrm{M}(7\,;6\,;6)$ — b. $\mathrm{N}(3\,;6\,;4)$ — c. $\mathrm{P}(4\,;6\,;-2)$ — d. $\mathrm{R}(-3\,;-9\,;7)$

3. On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x = -2 + 3k \\ y = -1 - 2k \\ z = 1 + k \end{cases}$, avec $k \in \mathbb{R}$. Les droites $(d)$ et $(d')$ sont :

a. sécantes — b. non coplanaires — c. parallèles — d. confondues

4. On considère le plan $(P)$ passant par le point $\mathrm{I}(2\,;1\,;0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est :

a. $2x + 3y - z - 7 = 0$ — b. $-x + y - 4z + 1 = 0$ — c. $4x + 6y - 2z + 9 = 0$ — d. $2x + y + 1 = 0$

Exercice 3 — Une fonction et son point d'inflexion (5 points)

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$ par

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $\mathrm{A}$ de coordonnées $(1\,;-1)$. Cette tangente passe également par le point $\mathrm{B}(0\,;-4)$.

1. Lire graphiquement $f'(1)$, et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.

2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point $\mathrm{A}$ pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.

2. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;+\infty[$,

3. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

b. Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;+\infty[$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

4. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$.

b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$, et montrer que $\alpha$ vérifie

Exercice 4 — Deux suites d'intégrales (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales

1. Calculer $I_0$.

2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \geqslant 0$.

b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.

c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $(I_n)$ converge.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,

b. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $(I_n)$.

4. a. En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

5. On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $(I_n)$ devient inférieure à $0{,}1$. Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

from math import *
def seuil():
    n = 0
    I = 2
    ...
        n = n+1
        I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
    return n